Déterminons tout d’abord \(F(x,y)\) pour \((x,y)\in\Rr^2\). Pour \(y\in\Rr\), \(F(x,y)=\text{Max}\left\{f_{0,y}(-1),f_{0,y}(1)\right\}=\text{Max}\left\{y,-y\right\}=|y|\). Si \(x\neq0\), \(F(x,y)=\text{Max}\left\{f_{x,y}(-1),f_{x,y}\left(-\frac{y}{2x}\right),f_{x,y}(1)\right\}=\text{Max}\left\{x+y,x-y,-\frac{y^2}{4x}\right\}=\text{Max}\left\{x+|y|,-\frac{y^2}{4x}\right\}\). Plus précisément, si \(x>0\), on a \(x+|y|>0\) et \(-\frac{y^2}{4x}\leqslant0\). Donc \(F(x,y)=x+|y|\) ce qui reste vrai quand \(x=0\). Si \(x<0\), \(x+|y|-\left(-\frac{y^2}{4x}\right)=\frac{4x^2+4x|y|+y^2}{4x}=\frac{(2x+|y|)^2}{4x}<0\) et donc \(F(x,y)=-\frac{y^2}{4x}\).

En vertu de théorèmes généraux, \(F\) est continue sur \(\{(x,y)\in\Rr^2,\;x>0\}\) et \(\{(x,y)\in\Rr^2,\;x<0\}\). Soit \(y_0\neq0\). \(\displaystyle\lim_{\substack{(x,y)\rightarrow(0,y_0)\\ x<0,\;y=y_0}}F(x,y)=+\infty\neq|y_0|=F(0,y_0)\) et donc \(F\) n’est pas continue en \((0,y_0)\). Enfin, \(\displaystyle\lim_{\substack{(x,y)\rightarrow(0,0)\\ x<0,\;y=\sqrt{-x}}}F(x,y)=\frac{1}{4}\neq 0=F(0,0)\) et donc \(F\) n’est pas continue en \((0,0)\).

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