Déterminons tout d’abord $F(x,y)$ pour $(x,y)\in\Rr^2$ . Pour $y\in\Rr$ , $F(x,y)=\text{Max}\left\{f_{0,y}(-1),f_{0,y}(1)\right\}=\text{Max}\left\{y,-y\right\}=|y|$ . Si $x\neq0$ , $F(x,y)=\text{Max}\left\{f_{x,y}(-1),f_{x,y}\left(-\frac{y}{2x}\right),f_{x,y}(1)\right\}=\text{Max}\left\{x+y,x-y,-\frac{y^2}{4x}\right\}=\text{Max}\left\{x+|y|,-\frac{y^2}{4x}\right\}$ . Plus précisément, si $x>0$ , on a $x+|y|>0$ et $-\frac{y^2}{4x}\leqslant0$ . Donc $F(x,y)=x+|y|$ ce qui reste vrai quand $x=0$ . Si $x<0$ , $x+|y|-\left(-\frac{y^2}{4x}\right)=\frac{4x^2+4x|y|+y^2}{4x}=\frac{(2x+|y|)^2}{4x}<0$ et donc $F(x,y)=-\frac{y^2}{4x}$ .

$\forall(x,y)\in\Rr^2,\;F(x,y)=\left\{ \begin{array}{l} x+|y|\;\text{si}\;x\geqslant0\\ -\frac{y^2}{4x}\;\text{si}\;x<0 \end{array} \right.$ .

En vertu de théorèmes généraux, $F$ est continue sur $\{(x,y)\in\Rr^2,\;x>0\}$ et $\{(x,y)\in\Rr^2,\;x<0\}$ . Soit $y_0\neq0$ . $\displaystyle\lim_{\substack{(x,y)\rightarrow(0,y_0)\\ x<0,\;y=y_0}}F(x,y)=+\infty\neq|y_0|=F(0,y_0)$ et donc $F$ n’est pas continue en $(0,y_0)$ . Enfin, $\displaystyle\lim_{\substack{(x,y)\rightarrow(0,0)\\ x<0,\;y=\sqrt{-x}}}F(x,y)=\frac{1}{4}\neq 0=F(0,0)$ et donc $F$ n’est pas continue en $(0,0)$ .

$F$ est continue sur $\Rr^2\setminus\{(0,y),\;y\in\Rr\}$ et est discontinue en tout $(0,y)$ , $y\in\Rr$ .

exo7 5554