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Soit $f$ et $g$ deux fonctions intégrables sur $[a,b]$. On suppose que $f$ est monotone sur $[a,b]$ et que $g$ est positive sur $[a,b]$. Montrer qu’il existe $c\in[a,b]$ tel que $$\int_a^bf(t)g(t)\,dt=f(a)\int_a^cg(t)\,dt+f(b)\int_c^bg(t)\,dt$$ (considérer $\varphi(x)=f(a)\int_a^xg(t)\,dt+f(b)\int_x^bg(t)\,dt$).