1
Soit \(A\) un anneau commutatif et \(I\subset A\) un idéal. Montrer que \(I[X]\) est un idéal de \(A[X]\). Montrer que \(A[X]/I[X]\simeq A/I[X]\). Montrer que si \(I\) est premier, \(I[X]\) est premier.
2
Soit \(p\) un nombre premier. Montrer que \(\Z[X]/(p)\simeq \mathbb{F}_p[X]\).
3
Montrer que les idéaux premiers non-nuls de \(\Z[X]\) sont :
4
\((p)\), où \(p\in \N\) est un nombre premier ;
5
\((R(X))\), où \(R\in \Z[X]\) est un polynôme irréductible ;
6
\((p,R(X))\), où \(p\in \N\) est un nombre premier et \(R\in \Z[X]\) est un polynôme irréductible dont la réduction modulo \(p\), \(\overline{R}(X)\in \mathbb{F}_p[X]\), est un polynôme irréductible.