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Soit $A$ un anneau commutatif et $I\subset A$ un idéal. Montrer que $I[X]$ est un idéal de $A[X]$. Montrer que $A[X]/I[X]\simeq A/I[X]$. Montrer que si $I$ est premier, $I[X]$ est premier.

Soit $p$ un nombre premier. Montrer que $\Z[X]/(p)\simeq \mathbb{F}_p[X]$.

Montrer que les idéaux premiers non-nuls de $\Z[X]$ sont :

$(p)$, où $p\in \N$ est un nombre premier ;

$(R(X))$, où $R\in \Z[X]$ est un polynôme irréductible ;

$(p,R(X))$, où $p\in \N$ est un nombre premier et $R\in \Z[X]$ est un polynôme irréductible dont la réduction modulo $p$, $\overline{R}(X)\in \mathbb{F}_p[X]$, est un polynôme irréductible.