Notations :
\(\mathcal{C}\) : ensemble des fonctions numériques continues sur \([0,1]\).
\(\mathcal{C}_d\) : ensemble des fonctions numériques ayant
une dérivée continue sur \([0,1]\).
\(\mathcal{C}(\mathbb{R})\) et \(\mathcal{C}^1(\mathbb{R})\) : définis de façon analogue
pour les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\).
\(\mathcal{P}\) : ensemble des polynômes sur \(\mathbb{R}\).
\(\mathcal{P}_n\) : ensemble des polynômes sur \(\mathbb{R}\), de degré \(\leq n\).
Dire si les applications suivantes sont des applications linéaires :
\(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x\mapsto 2x^2\).
\(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x\mapsto 4x-3\).
\(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x\mapsto \sqrt{x^2}\).
\(\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} ^2 :(x,y)\mapsto (y,x)\).
\(\mathcal{C}\rightarrow \mathcal{C} : f \mapsto \{t\mapsto {f(t)\over1+t^2}\}\).
\(\mathcal{C} \rightarrow \mathbb{R} : f\mapsto f(3/4)\).
\(\mathcal{C} \rightarrow \mathbb{R} : f\mapsto f(1/4)-\int_{1/2}^1f(t)\,dt\).
\(\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} :(x,y)\mapsto 3x+5y\).
\(\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} : (x,y)\mapsto \sqrt{3x^2+5y^2}\).
\(\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} : (x,y)\mapsto \sin(3x+5y)\).
\(\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 : (x,y)\mapsto (-x,y)\).
\(\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} :(x,y)\mapsto xy\).
\(\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} : (x,y)\mapsto {x^2 y\over x^2+y^2} \mbox{ si } x^2+y^2 \ne0 \mbox{ et} 0 \mbox{ sinon}.\)
\(\mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}_d : f\mapsto \{x\mapsto e^{-x}\int_0^1f(t)\,dt\}\).
\(\mathcal{P} \rightarrow \mathcal{P}_n : A \mapsto\) quotient de \(A\) par \(B\) à l’ordre \(n\) selon les puissances croissantes (\(B\) et \(n\) fixés, avec \(B(0)\ne0\)).
\(\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 : M \mapsto M'\) défini par: \({\overrightarrow{OM'}= {\overrightarrow{OM}\over\bigl\Vert\overrightarrow{OM}\bigr\Vert} \mbox{ si } \overrightarrow{OM}\ne\overrightarrow 0 \mbox{ et } 0 \mbox{ sinon}.}\)
\(\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R} : M\mapsto \overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow V\) où \(\overrightarrow V=(4,-1,1/2)\).
\(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3 : x\mapsto (2x,x/\pi,x\sqrt2)\).
\(\mathcal{C} \rightarrow \mathbb{R} : f\mapsto \max_{t\in[0,1]}f(t)\).
\(\mathcal{C} \rightarrow \mathbb{R} : f\mapsto \max_{t\in[0,1]}f(t)-\min_{t\in[0,1]}f(t)\).
\(\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 : (x,y)\mapsto\) la solution du système d’équations en \((u,v)\) : \[\left\{ \begin{array}{rcl} 3u-v & = & x \\ 6u+2v & = & y. \end{array} \right.\]
\(\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 : (x,y)\mapsto\) le symétrique de \((x,y)\) par rapport à la droite d’équation \(x+y-a=0\) (discuter selon les valeurs de \(a\)).
\(\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 : (x,y,z)\mapsto\) la projection de \((x,y,z)\) sur le plan \(x+y+z-a=0\) parallèlement à \(Oz\) (discuter selon les valeurs de \(a\)).
\(\mathcal{C}_d \rightarrow \mathcal{C} : f\mapsto f'\).
\(\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 : (x,y,z)\mapsto (2x-3y+z,x-y+z/3)\).
\(\mathbb{R} \rightarrow \mathcal{C}d : \lambda\mapsto\) la solution de l’équation différentielle \(y'-{y\over x^2+1}=0\) valant \(\lambda\) en \(x_0=1\).
\(\mathcal{C}\rightarrow \mathbb{R} : f\mapsto \int_0^1\ln(1+\vert f(t)\vert)\,dt\).
\(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x\mapsto\) la \(17\)-ième décimale de \(x\) (en écriture décimale).
\(\mathcal{C}_d \rightarrow \mathbb{R} : f \mapsto f'(1/2)+\int_0^1{f(t)\,dt}\).
\(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x\mapsto \ln(3^{x\sqrt2})\).
\(\mathbb{R} \times \mathcal{C}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{C}(\mathbb{R}) : (\lambda,f)\mapsto\) la primitive de \(f\) qui vaut \(\lambda\) en \(x_0=\pi\).
\(\mathcal{C}^1(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{C}(\mathbb{R}): f\mapsto \{x\mapsto f'(x)+f(x) \cdot \sin x\}\).