Soient \(U\) et \(V\) deux ensembles non vides et \(f\) une application de \(U\) à valeurs dans \(V .\) Le graphe de \(f\) est le sous-ensemble de \(U\times V\) défini par \(\mathcal{G} _f=\{ (x, y) \in U\times V \hbox{ tels que } y=f(x) \} .\)
On suppose maintenant que \(U\) et \(V\) sont des espaces vectoriels. Rappeler la définition de la structure d’espace vectoriel de \(U\times V .\)
Montrer qu’une partie \(H\) de \(U\times V\) est le graphe d’une application linéaire de \(U\) dans \(V\) si et seulement si les trois conditions qui suivent sont satisfaites :
i) La projection canonique \(H \rightarrow U\) définie par \((x,y) \mapsto x\) est surjective.
ii) \(H\) est un sous-espace vectoriel de \(U\times V .\)
iii) \(H \cap \left( \{ 0_U \} )\times V \right) =\{ 0_{U\times V}\} .\) (\(0_U\) et \(0_{U\times V}\) sont les éléments neutres respectifs de \(U\) et \(U\times V .)\)
On identifie \({ \Rr}^4\) à \({ \Rr}^2\times { \Rr}^2\) par l’isomorphisme \((x,y,z,t)\mapsto \left( (x,y),(z,t)\right) .\) Enoncer des conditions nécéssaires et suffisantes pour que \(E\) soit le graphe d’une application linéaire de \({ \Rr}^2\) dans lui-même.
Montrer que \(E\) est le graphe d’une application linéaire \(\varphi\) de \({ \Rr}^2\) dans lui-même. Déterminer sa matrice dans une base que l’on définira au préalabe.