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On suppose maintenant que $U$ et $V$ sont des espaces vectoriels. Rappeler la définition de la structure d’espace vectoriel de $U\times V .$

Montrer qu’une partie $H$ de $U\times V$ est le graphe d’une application linéaire de $U$ dans $V$ si et seulement si les trois conditions qui suivent sont satisfaites :

i) La projection canonique $H \rightarrow U$ définie par $(x,y) \mapsto x$ est surjective.

ii) $H$ est un sous-espace vectoriel de $U\times V .$

iii) $H \cap \left( \{ 0_U \} )\times V \right) =\{ 0_{U\times V}\} .$ ($0_U$ et $0_{U\times V}$ sont les éléments neutres respectifs de $U$ et $U\times V .)$

On identifie ${ \Rr}^4$ à ${ \Rr}^2\times { \Rr}^2$ par l’isomorphisme $(x,y,z,t)\mapsto \left( (x,y),(z,t)\right) .$ Enoncer des conditions nécéssaires et suffisantes pour que $E$ soit le graphe d’une application linéaire de ${ \Rr}^2$ dans lui-même.

Montrer que $E$ est le graphe d’une application linéaire $\varphi$ de ${ \Rr}^2$ dans lui-même. Déterminer sa matrice dans une base que l’on définira au préalabe.