L1 Algèbre Application linéaire Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSI 2 questions

exo7 3336

Soit EE un KK-ev de dimension finie et H,KH,K deux sev fixés de EE.

1

A quelle condition existe-t-il un endomorphisme f∈L(E)f \in \mathcal{L}(E) tel que ℑf=H et Kerf=K\Im f = H \text{ et } \mathrm{Ker} f = K ?

2

On note E={f∈L(E) tq ℑf=H et Kerf=K}{\cal E} = \{ f \in \mathcal{L}(E) \text{ tq } \Im f = H \text{ et } \mathrm{Ker} f = K \}. Montrer que E\cal E est un groupe pour ∘\circ si et seulement si H⊕K=EH \oplus K = E.

Exercice Mb8g

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