L1 Algèbre Application linéaire Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 3 questions

exo7 3329

Soit EE un ev de dimension finie et f,g∈L(E)f,g \in \mathcal{L}(E). Établir :

1

dim⁡Ker(f∘g)≤dim⁡Kerf+dim⁡Kerg\dim\mathrm{Ker}(f\circ g) \le \dim\mathrm{Ker} f + \dim\mathrm{Ker} g.

2

dim⁡(ℑf∩Kerg)=rg(f)−rg(g∘f)\dim(\Im f \cap \mathrm{Ker} g) = \mathrm{rg}(f) - \mathrm{rg}(g\circ f).

3

rg(f)+rg(g)−dim⁡E≤rg(f∘g)≤min⁡(rg(f),rg(g))\mathrm{rg}(f) + \mathrm{rg}(g) - \dim E \le \mathrm{rg}(f\circ g) \le \min(\mathrm{rg}(f),\mathrm{rg}(g)).

Exercice 40J1

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