$\Leftarrow$ / Si $\forall i\neq j$ , $p_i\circ p_j= 0$ alors

$(p_1+...+p_n)^2=p_1^2+...+p_n^2+\sum_{i\neq j}^{}p_i\circ p_j = p_1+...+p_n$ ,

et $p_1+...+p_n$ est un projecteur.

$\Rightarrow$ / Supposons que $p=p_1 + ... + p_n$ soit un projecteur. Posons $F_i=\text{Im}p_i$ , $1\leqslant i\leqslant n$ , puis $F=F_1 + ... + F_n$ et $G =\text{Im}p$ . On sait que la trace d’un projecteur est son rang. Par linéarité de la trace, on obtient

$\text{rg}p=\text{Tr}p=\text{Tr}(p_1) + ...+\text{Tr}(p_n)=\text{rg}(p_1)+... +\text{rg}(p_n)$ ,

et donc $\text{dim}G=\text{dim}F_1+...+\text{dim}F_n\geqslant\text{dim}F$ . D’autre part, $G=\text{Im}(p_1 + ... + p_n)\subset\text{Im}p_1 + ... +\text{Im}p_n=F_1 + ... +F_n =F$ .

On obtient donc $G = F$ et aussi $\text{dim}(F_1+...+F_n)=\text{dim}F_1+...+\text{dim}F_n$ . D’après l’exercice [ex:rou15], $F=F_1\oplus...\oplus F_n$ c’est-à-dire

$\text{Im}p =\text{Im}(p_1)\oplus ...\oplus\text{Im}(p_n)$ .

Il reste à vérifier que pour $i\neq j$ et $x$ dans $E$ , $p_i(p_j(x))=0$ ou ce qui revient au même que pour $i\neq j$ et $y$ dans $\text{Im}(p_j)$ , $p_i(y)=0$ .

Soit $y$ dans $\text{Im}(p_j)$ (et donc dans $\text{Im}p$ ). Les égalités $y=p_j(y)=p(y)$ fournissent $\sum_{i\neq j}^{}p_i(y) = 0$ . La somme $\sum_{i}^{}\text{Im}(p_i)$ étant directe, on a donc $p_i(y) = 0$ pour chaque $i\neq j$ ce qu’il fallait démontrer.

$p_1+\ldots+p_n$ projecteur $\Leftrightarrow\forall i\neq j,\;p_i\circ p_j=0$ .

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