\(\Leftarrow\)/ Si \(\forall i\neq j\), \(p_i\circ p_j= 0\) alors

\((p_1+...+p_n)^2=p_1^2+...+p_n^2+\sum_{i\neq j}^{}p_i\circ p_j = p_1+...+p_n\),

et \(p_1+...+p_n\) est un projecteur.

\(\Rightarrow\)/ Supposons que \(p=p_1 + ... + p_n\) soit un projecteur. Posons \(F_i=\text{Im}p_i\), \(1\leqslant i\leqslant n\), puis \(F=F_1 + ... + F_n\) et \(G =\text{Im}p\). On sait que la trace d’un projecteur est son rang. Par linéarité de la trace, on obtient

\(\text{rg}p=\text{Tr}p=\text{Tr}(p_1) + ...+\text{Tr}(p_n)=\text{rg}(p_1)+... +\text{rg}(p_n)\),

et donc \(\text{dim}G=\text{dim}F_1+...+\text{dim}F_n\geqslant\text{dim}F\). D’autre part, \(G=\text{Im}(p_1 + ... + p_n)\subset\text{Im}p_1 + ... +\text{Im}p_n=F_1 + ... +F_n =F\).

On obtient donc \(G = F\) et aussi \(\text{dim}(F_1+...+F_n)=\text{dim}F_1+...+\text{dim}F_n\). D’après l’exercice [ex:rou15], \(F=F_1\oplus...\oplus F_n\) c’est-à-dire

\(\text{Im}p =\text{Im}(p_1)\oplus ...\oplus\text{Im}(p_n)\).

Il reste à vérifier que pour \(i\neq j\) et \(x\) dans \(E\), \(p_i(p_j(x))=0\) ou ce qui revient au même que pour \(i\neq j\) et \(y\) dans \(\text{Im}(p_j)\), \(p_i(y)=0\).

Soit \(y\) dans \(\text{Im}(p_j)\) (et donc dans \(\text{Im}p\)). Les égalités \(y=p_j(y)=p(y)\) fournissent \(\sum_{i\neq j}^{}p_i(y) = 0\). La somme \(\sum_{i}^{}\text{Im}(p_i)\) étant directe, on a donc \(p_i(y) = 0\) pour chaque \(i\neq j\) ce qu’il fallait démontrer.

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