\(f_1\) est linéaire. Pour \((x,y) \in \Rr^2\) et \((x',y')\in \Rr^2\) : \[\begin{align*} f_1\big( (x,y)+(x',y') \big) & = f_1\big( x+x',y+y' \big) \\ & = \big(2(x+x')+ (y+y'), (x+x')-(y+y') \big) \\ & = \big(2x+y +2x'+y', x-y+x'-y' \big) \\ & = \big(2x+y,x-y \big) + \big(2x'+y',x'-y' \big) \\ & = f_1(x,y)+f_1(x',y') \end{align*}\]

Pour \((x,y)\in \Rr^2\) et \(\lambda\in \Rr\) : \[f_1\big( \lambda \cdot (x,y)\big) = f_1\big(\lambda x,\lambda y\big) = \big( 2\lambda x+\lambda y,\lambda x - \lambda y \big) = \lambda \cdot\big(2x+y,x-y \big) = \lambda \cdot f_1(x,y).\] \(f_2\) n’est pas linéaire, en effet par exemple \(f_2(1,1,0)+f_2(1,1,0)\) n’est pas égal à \(f_2(2,2,0)\). \(f_3\) est linéaire : il faut vérifier d’abord que pour tout \((x,y,z)\) et \((x',y',z')\) alors \(f_3\big( (x,y,z) + (x',y',z') \big) = f_3(x,y,z)+f_3(x',y',z')\). Et ensuite que pour tout \((x,y,z)\) et \(\lambda\) on a \(f_3\big(\lambda\cdot(x,y,z) \big) = \lambda \cdot f_3(x,y,z)\). \(f_4\) est linéaire : il faut vérifier d’abord que pour tout \((x,y)\) et \((x',y')\) alors \(f_4\big( (x,y) + (x',y') \big) = f_4(x,y)+f_4(x',y')\). Et ensuite que pour tout \((x,y)\) et \(\lambda\) on a \(f_4\big(\lambda\cdot(x,y) \big) = \lambda \cdot f_4(x,y)\). \(f_5\) est linéaire : soient \(P,P' \in \Rr_3[X]\) alors

\[\begin{align*} f_5\big(P+P'\big) & = \big( (P+P')(-1), (P+P')(0), (P+P')(1) \big) \\ & = \big( P(-1)+P'(-1), P(0)+P'(0), P(1)+P'(1) \big) \\ & = \big( P(-1), P(0), P(1) \big) + \big( P'(-1), P'(0), P'(1) \big) \\ & = f_5(P)+f_5(P') \\ \end{align*}\]

Et si \(P\in \Rr_3[X]\) et \(\lambda \in \Rr\) : \[\begin{align*} f_5\big( \lambda \cdot P\big) & = \big( (\lambda P)(-1), (\lambda P)(0), (\lambda P)(1) \big) \\ & = \big( \lambda \times P(-1), \lambda \times P(0), \lambda \times P(1) \big) \\ & = \lambda \cdot \big( P(-1), P(0), P(1) \big) \\ & = \lambda \cdot f_5(P) \\ \end{align*}\]

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