On transforme légèrement l’énoncé.

Si \(x\) est un vecteur non nul tel que \((x,f(x))\) est liée alors il existe un scalaire \(\lambda_x\) tel que \(f(x) =\lambda_x x\). Si \(x = 0\), \(f(x)=0=0x\) et encore une fois il existe un scalaire \(\lambda_x\) tel que \(f(x)=\lambda_x x\).

Inversement, si pour tout \(x\) de \(E\), il existe \(\lambda_x\in\Kk\) tel que \(f(x)=\lambda_xx\), alors la famille \((x,f(x))\) est liée. Donc

\([(\forall x\in E,\;(x,f(x))\;\text{liée})\Leftrightarrow(\forall x\in E,\exists\lambda_x\in\Kk/\;f(x) =\lambda_xx)]\).

Notons de plus que dans le cas où \(x\neq0\), la famille \((x)\) est une base de la droite vectorielle \(\text{Vect}(x)\) et en particulier, le nombre \(\lambda_x\) est uniquement défini.

Montrons maintenant que \(f\) est une homothétie c’est à dire montrons que : \(\exists\lambda\in\Kk/\;\forall x\in E,\;f(x) =\lambda x\).

Soient \(x_0\) un vecteur non nul et fixé de \(E\) puis \(x\) un vecteur quelconque de \(E\).

1er cas. Supposons la famille \((x_0,x)\) libre. On a \(f(x+x_0)=\lambda_{x+x_0}(x+x_0)\) mais aussi \(f(x+x_0)=f(x)+f(x_0) =\lambda_xx +\lambda_{x_0}x_0\) et donc

\((\lambda_{x+x_0}-\lambda_x)x+ (\lambda_{x+x_0}-\lambda_{x_0})x_0=0\).

Puisque la famille \((x_0,x)\) est libre, on obtient \(\lambda_{x+x_0}-\lambda_x=\lambda_{x+x_0}-\lambda_{x_0}= 0\) et donc \(\lambda_x=\lambda_{x+x_0}=\lambda_{x_0}\). Ainsi, pour tout vecteur \(x\) tel que \((x,x_0)\) libre, on a \(f(x)=\lambda_{x_0}x\).

2ème cas. Supposons la famille \((x_0,x)\) liée. Puisque \(x_0\) est non nul, il existe un scalaire \(\mu\) tel que \(x =\mu x_0\). Mais alors

\(f(x) =\mu f(x_0)=\mu \lambda_{x_0}x_0 =\lambda_{x_0}x\).

Finalement, il existe un scalaire \(k=\lambda_{x_0}\) tel que pour tout vecteur \(x\), \(f(x) =kx\) et \(f\) est une homothétie. La réciproque étant claire, on a montré que

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