On transforme légèrement l’énoncé.

Si $x$ est un vecteur non nul tel que $(x,f(x))$ est liée alors il existe un scalaire $\lambda_x$ tel que $f(x) =\lambda_x x$ . Si $x = 0$ , $f(x)=0=0x$ et encore une fois il existe un scalaire $\lambda_x$ tel que $f(x)=\lambda_x x$ .

Inversement, si pour tout $x$ de $E$ , il existe $\lambda_x\in\Kk$ tel que $f(x)=\lambda_xx$ , alors la famille $(x,f(x))$ est liée. Donc

$[(\forall x\in E,\;(x,f(x))\;\text{liée})\Leftrightarrow(\forall x\in E,\exists\lambda_x\in\Kk/\;f(x) =\lambda_xx)]$ .

Notons de plus que dans le cas où $x\neq0$ , la famille $(x)$ est une base de la droite vectorielle $\text{Vect}(x)$ et en particulier, le nombre $\lambda_x$ est uniquement défini.

Montrons maintenant que $f$ est une homothétie c’est à dire montrons que : $\exists\lambda\in\Kk/\;\forall x\in E,\;f(x) =\lambda x$ .

Soient $x_0$ un vecteur non nul et fixé de $E$ puis $x$ un vecteur quelconque de $E$ .

1er cas. Supposons la famille $(x_0,x)$ libre. On a $f(x+x_0)=\lambda_{x+x_0}(x+x_0)$ mais aussi $f(x+x_0)=f(x)+f(x_0) =\lambda_xx +\lambda_{x_0}x_0$ et donc

$(\lambda_{x+x_0}-\lambda_x)x+ (\lambda_{x+x_0}-\lambda_{x_0})x_0=0$ .

Puisque la famille $(x_0,x)$ est libre, on obtient $\lambda_{x+x_0}-\lambda_x=\lambda_{x+x_0}-\lambda_{x_0}= 0$ et donc $\lambda_x=\lambda_{x+x_0}=\lambda_{x_0}$ . Ainsi, pour tout vecteur $x$ tel que $(x,x_0)$ libre, on a $f(x)=\lambda_{x_0}x$ .

2ème cas. Supposons la famille $(x_0,x)$ liée. Puisque $x_0$ est non nul, il existe un scalaire $\mu$ tel que $x =\mu x_0$ . Mais alors

$f(x) =\mu f(x_0)=\mu \lambda_{x_0}x_0 =\lambda_{x_0}x$ .

Finalement, il existe un scalaire $k=\lambda_{x_0}$ tel que pour tout vecteur $x$ , $f(x) =kx$ et $f$ est une homothétie. La réciproque étant claire, on a montré que

$\forall f\in\mathcal{L}(E)$ , $[(f\;\text{homothétie})\Leftrightarrow(\forall x\in E,\;(x,f(x))\;\text{liée})]$ .

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