Soit \(P \in E\) et \(\lambda \in \Rr\), alors la division euclidienne de \(AP\) par \(B\) s’écrit \(AP= Q\cdot B + R\), donc en multipliant par \(\lambda\) on obtient : \(A\cdot (\lambda P)= (\lambda Q)B+\lambda R\). ce qui est la division euclidienne de \(A\cdot (\lambda P)\) par \(B\), donc si \(f(P)= R\) alors \(f(\lambda P)=\lambda R\). Donc \(f(\lambda P)=\lambda f(P)\).

Soient \(P, P' \in E\). On écrit les divisions euclidiennes : \[AP= Q\cdot B + R,\quad AP'=Q'\cdot B+R'.\] En additionnant : \[A(P+P')=(Q+Q')B+(R+R')\] qui est la division euclidienne de \(A(P+P')\) par \(B\). Donc si \(f(P)=R\), \(f(P')=R'\) alors \(f(P+P')=R+R'=f(P)+f(P')\).

Donc \(f\) est linéaire. Sens \(\Rightarrow\). Supposons \(f\) est bijective, donc en particulier \(f\) est surjective, en particulier il existe \(P\in E\) tel que \(f(P)=1\) (\(1\) est le polynôme constant égale à \(1\)). La division euclidienne est donc \(AP=BQ+1\), autrement dit \(AP-BQ=1\). Par le théorème de Bézout, \(A\) et \(B\) sont premiers entre eux. Sens \(\Leftarrow\). Supposons \(A, B\) premiers entre eux. Montrons que \(f\) est injective. Soit \(P\in E\) tel que \(f(P)=0\). Donc la division euclidienne s’écrit : \(AP=BQ+0\). Donc \(B\) divise \(AP\). Comme \(A\) et \(B\) sont premiers entre eux, par le lemme de Gauss, alors \(B\) divise \(P\). Or \(B\) est de degré \(n+1\) et \(P\) de degré moins que \(n\), donc la seule solution est \(P=0\). Donc \(f\) est injective. Comme \(f : E\longrightarrow E\) est injective et \(E\) est de dimension finie, alors \(f\) est bijective.

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