Soit $P \in E$ et $\lambda \in \Rr$ , alors la division euclidienne de $AP$ par $B$ s’écrit $AP= Q\cdot B + R$ , donc en multipliant par $\lambda$ on obtient : $A\cdot (\lambda P)= (\lambda Q)B+\lambda R$ . ce qui est la division euclidienne de $A\cdot (\lambda P)$ par $B$ , donc si $f(P)= R$ alors $f(\lambda P)=\lambda R$ . Donc $f(\lambda P)=\lambda f(P)$ .

Soient $P, P' \in E$ . On écrit les divisions euclidiennes : $AP= Q\cdot B + R,\quad AP'=Q'\cdot B+R'.$ En additionnant : $A(P+P')=(Q+Q')B+(R+R')$ qui est la division euclidienne de $A(P+P')$ par $B$ . Donc si $f(P)=R$ , $f(P')=R'$ alors $f(P+P')=R+R'=f(P)+f(P')$ .

Donc $f$ est linéaire. Sens $\Rightarrow$ . Supposons $f$ est bijective, donc en particulier $f$ est surjective, en particulier il existe $P\in E$ tel que $f(P)=1$ ( $1$ est le polynôme constant égale à $1$ ). La division euclidienne est donc $AP=BQ+1$ , autrement dit $AP-BQ=1$ . Par le théorème de Bézout, $A$ et $B$ sont premiers entre eux. Sens $\Leftarrow$ . Supposons $A, B$ premiers entre eux. Montrons que $f$ est injective. Soit $P\in E$ tel que $f(P)=0$ . Donc la division euclidienne s’écrit : $AP=BQ+0$ . Donc $B$ divise $AP$ . Comme $A$ et $B$ sont premiers entre eux, par le lemme de Gauss, alors $B$ divise $P$ . Or $B$ est de degré $n+1$ et $P$ de degré moins que $n$ , donc la seule solution est $P=0$ . Donc $f$ est injective. Comme $f : E\longrightarrow E$ est injective et $E$ est de dimension finie, alors $f$ est bijective.

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