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Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des endomorphismes de $C^\infty(\R)$ ($\phi \in C^\infty(\R)$ est fixé) : $$f \mapsto f + \phi, \quad f \mapsto \phi f, \quad f \mapsto f\circ\phi, \quad f\mapsto \phi\circ f, \quad f \mapsto \int{f}, \quad f \mapsto f'.$$ Lesquelles sont des endomorphismes de $C^0(\R)$ ?

Pour quelles valeurs de $\phi$ les endomorphismes $\Phi : f \mapsto f\circ\phi$ et $D : f \mapsto f'$ commutent-ils (c’est-à-dire vérifient $D(\Phi f) = \Phi(D f), \forall f$) ?