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Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des endomorphismes de \(C^\infty(\R)\) (\(\phi \in C^\infty(\R)\) est fixé) : \[f \mapsto f + \phi, \quad f \mapsto \phi f, \quad f \mapsto f\circ\phi, \quad f\mapsto \phi\circ f, \quad f \mapsto \int{f}, \quad f \mapsto f'.\] Lesquelles sont des endomorphismes de \(C^0(\R)\) ?
Pour quelles valeurs de \(\phi\) les endomorphismes \(\Phi : f \mapsto f\circ\phi\) et \(D : f \mapsto f'\) commutent-ils (c’est-à-dire vérifient \(D(\Phi f) = \Phi(D f), \forall f\)) ?