Soit \(u\in\mathcal{L}(E)\). On pose pour \(v\in\mathcal{L}(E)\) : \(\varphi(v) = v\circ u - u\circ v\), et on note \(c_i = \mathrm{Ker}\varphi^i\) (\(c_0 = \{0\}\), \(c_1\) est le commutant de \(u\), \(c_2\) est l’ensemble des \(v\) tels que \(v\circ u - u\circ v\) commute avec \(u\),…).
1
Calculer \(\varphi(v\circ w)\) en fonction de \(v,w,\varphi(v)\) et \(\varphi(w)\).
2
Montrer que \(c = \bigcup_{i\in\N}c_i\) est une sous-algèbre de \(\mathcal{L}(E)\).