On désigne par \(\mathcal{P}_q\) l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à \(q\), et \(\mathcal{O}_q\) l’espace vectoriel des polynômes d’ordre supérieur ou égal à \(q\), c’est-à-dire divisibles par \(x^q\). \(P\) étant un polynôme, on note \(T(P)\) le polynôme défini par : \[T(P)(x)=xP(0)-{1\over20}x^5P^{(4)}(0)+ \int_0^x t^2[P(t+1)-P(t)-P'(t)]\,dt.\]
Montrer que \(T\) est linéaire. Déterminer \(T(e_i)\) où \(e_0=1\), \(e_1=x\), \(e_2=x^2\), \(e_3=x^3\), \(e_4=x^4\), et vérifier que \(T(\mathcal{P}_4) \subset\mathcal{P}_4\). Désormais, on considère \(T\) comme application linéaire de \(\mathcal{P}_4\) dans \(\mathcal{P}_4\). Écrire sa matrice par rapport à la base \((e_0, e_1, e_2, e_3, e_4)\).
Déterminer soigneusement les espaces \(T(\mathcal{P}_4\cap\mathcal{O}_3)\) et \(T(\mathcal{P}_4\cap\mathcal{O}_2)\).
La restriction \(T'\) de \(T\) à \(\mathcal{P}_4\cap\mathcal{O}_2\) est-elle injective ? Sinon déterminer une base du noyau de \(T'\).
Montrer que \(\Im T = (\mathcal{O}_1\cap\mathcal{P}_1)\oplus(\mathcal{O}_3\cap\mathcal{P}_4)\). Quel est le rang de \(T\) ?
Montrer que \(\mathrm{Ker} T\) peut s’écrire sous la forme \((\mathcal{O}_1\cap\mathcal{P}_1)\oplus V\) ; expliciter un sous-espace \(V\) possible. Déterminer \(\mathrm{Ker} T\cap\Im T\).
On cherche un vecteur non nul \(u=ae_3+be_4\) de \(\mathcal{O}_3\cap\mathcal{P}_4\), et un nombre réel \(\lambda\), tels que \(T(u)=\lambda u\). Écrire les équations que doivent vérifier \(a,b,\lambda\). Montrer qu’il existe deux valeurs possibles de \(\lambda\), \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\), telles \(0<\lambda_1<\lambda_2\) ; les calculer. Trouver deux vecteurs non nuls \(u_3\) et \(u_4\) de \(\mathcal{O}_3\cap\mathcal{P}_4\) tels que \(T(u_3)=\lambda_1u_3\) et \(T(u_4)=\lambda_2u_4\).
On pose \(u_0=e_1\), \(u_1=e_2-4e_3+3e_4\), \(u_2=e_0\). Montrer que \(\{u_0,u_1,u_2,u_3,u_4\}\) est une base de \(\mathcal{P}_4\). Écrire la matrice de \(T\) dans cette base.