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Montrer que $T$ est linéaire. Déterminer $T(e_i)$ où $e_0=1$, $e_1=x$, $e_2=x^2$, $e_3=x^3$, $e_4=x^4$, et vérifier que $T(\mathcal{P}_4) \subset\mathcal{P}_4$. Désormais, on considère $T$ comme application linéaire de $\mathcal{P}_4$ dans $\mathcal{P}_4$. Écrire sa matrice par rapport à la base $(e_0, e_1, e_2, e_3, e_4)$.

Déterminer soigneusement les espaces $T(\mathcal{P}_4\cap\mathcal{O}_3)$ et $T(\mathcal{P}_4\cap\mathcal{O}_2)$.

La restriction $T'$ de $T$ à $\mathcal{P}_4\cap\mathcal{O}_2$ est-elle injective ? Sinon déterminer une base du noyau de $T'$.

Montrer que $\Im T = (\mathcal{O}_1\cap\mathcal{P}_1)\oplus(\mathcal{O}_3\cap\mathcal{P}_4)$. Quel est le rang de $T$ ?

Montrer que $\mathrm{Ker} T$ peut s’écrire sous la forme $(\mathcal{O}_1\cap\mathcal{P}_1)\oplus V$ ; expliciter un sous-espace $V$ possible. Déterminer $\mathrm{Ker} T\cap\Im T$.

On cherche un vecteur non nul $u=ae_3+be_4$ de $\mathcal{O}_3\cap\mathcal{P}_4$, et un nombre réel $\lambda$, tels que $T(u)=\lambda u$. Écrire les équations que doivent vérifier $a,b,\lambda$. Montrer qu’il existe deux valeurs possibles de $\lambda$, $\lambda_1$ et $\lambda_2$, telles $0<\lambda_1<\lambda_2$ ; les calculer. Trouver deux vecteurs non nuls $u_3$ et $u_4$ de $\mathcal{O}_3\cap\mathcal{P}_4$ tels que $T(u_3)=\lambda_1u_3$ et $T(u_4)=\lambda_2u_4$.

On pose $u_0=e_1$, $u_1=e_2-4e_3+3e_4$, $u_2=e_0$. Montrer que $\{u_0,u_1,u_2,u_3,u_4\}$ est une base de $\mathcal{P}_4$. Écrire la matrice de $T$ dans cette base.