Deux cas particuliers se traitent immédiatement.

Si $f=0$ , on prend $p=0$ et $g=Id_E$ et si $f\in\mathcal{GL}(E)$ , on prend $p=Id_E$ et $g=f$ .

On se place dorénavant dans le cas où $\text{Ker}f$ et $\text{Im}f$ ne sont pas réduit à ${0}$ .

Soit $F$ un supplémentaire de $\text{Ker}f$ dans $E$ et $G$ un supplémentaire de $\text{Im}f$ dans $E$ .

On sait que la restriction $f'$ de $f$ à $F$ réalise un isomorphisme de $F$ sur $\text{Im}f$ . D’autre part $\text{dim}\text{Ker}f=\text{dim}G<+\infty$ et donc $\text{Ker}f$ et $G$ sont isomorphes. Soit $\varphi$ un isomorphisme de $\text{Ker}f$ sur $G$ .

On définit une unique application linéaire $g$ en posant $g_{/\text{Ker}f}=\varphi$ et $g_{/F}=f'$ .

$g$ est un automorphisme de $E$ . En effet,

$g(E)=g(\text{Ker}f +F)=g(\text{Ker}f) +g(F)=\varphi(\text{Ker}f) + f'(F)=G +\text{Im}f=E$ ,

(puisque $\varphi$ et $f'$ sont des isomorphismes) et donc $g$ est surjective. Par suite $g$ est bijective de $E$ sur lui-même puisque $\text{dim}E<+\infty$ .

Soit $p$ la projection sur $F$ parallèlement à $\text{Ker}f$ . On a

$(g\circ p)_{/\text{Ker}f}= g\circ0_{/\text{Ker}f}= 0_{/\text{Ker}f}=f_{/\text{Ker}f}$ et $(g\circ p)_{/F}=g\circ Id_{/F}=f'=f_{/F}$ .

Ainsi les endomorphismes $g\circ p$ et $f$ coïncident sur deux sous espaces supplémentaires de $E$ et donc $g\circ p=f$ . Finalement, si on note $P(E)$ l’ensemble des projecteurs de $E$ ,

$\forall f\in\mathcal{L}(E)$ , $\exists g\in\mathcal{GL}(E)$ , $\exists p\in P(E)/\;f=g\circ p$ .

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