L1 Algèbre Application linéaire Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT 2 questions

exo7 5592

Soit $E$ un $\Cc$ -espace de dimension finie $n$ . Soient $p_1$ ,..., $p_n$ $n$ projecteurs non nuls de $E$ tels que $\forall i\neq j$ , $p_i\circ p_j=0$ .

Montrer que tous les $p_i$ sont de rang $1$ .

Soient $q_1$ ,..., $q_n$ $n$ projecteurs vérifiant les mêmes égalités. Montrer qu’il existe un automorphisme $f$ de $E$ tel que $\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket$ , $q_i=f\circ p_i\circ f^{-1}$ .