Soit \(E\) l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à \(n\). Étant donné deux réels \(a,b\), on note \(u\) l’application qui à tout polynôme \(P\) de \(E\) fait correspondre \[u(P) = (X-a)(X-b)P' -n XP\]
1
Vérifier que \(u\) est un endomorphisme de \(E\).
2
Trouver les valeurs propres et vecteurs propres de \(u\).
3
Trouver le noyau de \(u\), ainsi que l’ensemble des polynômes qui vérifient \(u(P) = 1\).