L1 Algèbre Application linéaire Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT Prépa BCPST 3 questions

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Soit $E$ l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à $n$ . Étant donné deux réels $a,b$ , on note $u$ l’application qui à tout polynôme $P$ de $E$ fait correspondre $u(P) = (X-a)(X-b)P' -n XP$

Vérifier que $u$ est un endomorphisme de $E$ .

Trouver les valeurs propres et vecteurs propres de $u$ .

Trouver le noyau de $u$ , ainsi que l’ensemble des polynômes qui vérifient $u(P) = 1$ .