Soit \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension finie non nulle. Soient \(f\) et \(g\) deux projecteurs distincts et non nuls de \(E\) tels qu’il existe deux complexes \(a\) et \(b\) tels que :
\(fg - gf = af + bg\).
1
Montrer que si \(a\neq0\) et \(a\neq1\) on a : \(\text{Im}(f)\subset\text{Im}(g)\). En déduire que \(gf=f\) puis que \(a+b =0\) puis que \(a=-1\).
2
Montrer que si \(a\neq0\) et \(a\neq-1\), on a \(\text{Ker}(g)\subset\text{Ker}(f)\). Que peut-on en déduire ?
3
Montrer que si \(f\) et \(g\) sont deux projecteurs qui ne commutent pas et vérifient de plus \(fg-gf=af+bg\) alors
\((a,b)\) est élément de \(\{(-1,1),(1,-1)\}\). Caractériser alors chacun de ces cas.