Soient \(E\) un espace vectoriel et \(f\) un endomorphisme de \(E\). Pour \(k\in\Nn\), on pose \(N_k= \text{Ker}(f^k)\) et \(I_k=\text{Im}(f^k)\) puis \(N=\displaystyle\bigcup_{k\in\Nn}N_k\) et \(I=\displaystyle\bigcap_{k\in\Nn}I_k\). (\(N\) est le nilespace de \(f\) et \(I\) le cœur de \(f\))
1
Montrer que les suites \((N_k)_{k\in\Nn}\) et \((I_k)_{k\in\Nn}\) sont respectivement croissante et décroissante pour l’inclusion.
2
Montrer que \(N\) et \(I\) sont stables par \(f\).
3
Montrer que \(\forall k\in\Nn\), \((N_k =N_{k+1})\Rightarrow(N_{k+1}=N_{k+2})\).