Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(f \in \mathcal{L}(E)\). On pose \(N_k = \mathrm{Ker}(f^k)\) et \(I_k = \Im(f^k)\).
1
Montrer que la suite \((N_k)\) est croissante (pour l’inclusion) et que la suite \((I_k)\) est décroissante.
2
Soit \(p\) tel que \(N_p = N_{p+1}\). Justifier l’existence de \(p\) et montrer que \(N_{p+1} = N_{p+2} = \dots = N_{p+k} = \dots\)
3
Montrer que les suites \((N_k)\) et \((I_k)\) sont stationnaires à partir du même rang \(p\).
4
Montrer que \(N_p \oplus I_p = E\).
5
Montrer que la suite \((\dim(N_{k+1})-\dim(N_k))\) est décroissante.