L1 Algèbre Application linéaire Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSI 3 questions

exo7 3339

Soit EE un KK-ev de dimension finie. Le centre de L(E)\mathcal{L}(E) est : Z={f∈L(E) tq ∀ g∈L(E), f∘g=g∘f}Z = \{f \in \mathcal{L}(E) \text{ tq } \forall\ g \in \mathcal{L}(E),\ f\circ g = g\circ f\}.

1

Soit f∈L(E)f \in \mathcal{L}(E) et x⃗∈E\vec x \in E. Si (x⃗,f(x⃗))(\vec x,f(\vec x)) est libre, montrer qu’il existe g∈L(E)g \in \mathcal{L}(E) telle que g(x⃗)=x⃗g(\vec x) = \vec x et g∘f(x⃗)=−f(x⃗)g\circ f(\vec x) = -f(\vec x).

2

En déduire que ZZ est l’ensemble des homothéties.

3

Déterminer Z′={f∈L(E) tq ∀ g∈GL(E), f∘g=g∘f}.Z' = \{f \in \mathcal{L}(E) \text{ tq } \forall\ g \in GL(E),\ f\circ g = g\circ f\}.

Exercice tnka

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