Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie. Le centre de \(\mathcal{L}(E)\) est : \(Z = \{f \in \mathcal{L}(E) \text{ tq } \forall\ g \in \mathcal{L}(E),\ f\circ g = g\circ f\}\).
1
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) et \(\vec x \in E\). Si \((\vec x,f(\vec x))\) est libre, montrer qu’il existe \(g \in \mathcal{L}(E)\) telle que \(g(\vec x) = \vec x\) et \(g\circ f(\vec x) = -f(\vec x)\).
2
En déduire que \(Z\) est l’ensemble des homothéties.
3
Déterminer \(Z' = \{f \in \mathcal{L}(E) \text{ tq } \forall\ g \in GL(E),\ f\circ g = g\circ f\}.\)