Soient \(P=\{ (x, y, z)\in \R ^3 ; 2x+y-z=0\}\) et \(D=\{ (x, y, z)\in \R ^3 ; 2x-2y+z=0 , x-y-z=0\}.\) On désigne par \(\epsilon\) la base canonique de \(\R ^3 .\)
Donner une base \(\{ e_1, e_2\}\) de \(P\) et \(\{ e_3\}\) une base de \(D .\) Montrer que \(\R ^3=P\oplus D\) puis que \(\epsilon '=\{ e_1,e_2,e_3\}\) est une base de \(\R ^3 .\)
Soit \(p\) la projection de \(\R ^3\) sur \(P\) parallélement à \(D .\) Déterminer \(\hbox{Mat}(p, \epsilon ',\epsilon ')\) puis \(A=\hbox{Mat}(p, \epsilon ,\epsilon ) .\) Vérifier \(A^2=A .\)
Soit \(s\) la symétrie de \(\R ^3\) par rapport à \(P\) parallélement à \(D .\) Déterminer \(\hbox{Mat}(s, \epsilon ',\epsilon ')\) puis \(B=\hbox{Mat}(s, \epsilon ,\epsilon ) .\) Vérifier \(B^2=I ,\) \(AB=A\) et \(BA=A .\)