Soit \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel et \(f\) un élément de \(\mathcal{L}(E)\).
Montrer que \([\mbox{Ker}f=\mbox{Ker}f^2\Leftrightarrow\mbox{Ker}f\cap\mbox{Im}f=\{0\}]\) et \([\mbox{Im}f=\mbox{Im}f^2\Leftrightarrow E=\mbox{Ker}f+\mbox{Im}f]\) (où \(f^2=f\circ f)\).
Par définition, un endomorphisme \(p\) de \(E\) est un projecteur si et seulement si \(p^2=p\).
Montrer que \[[p\;\mbox{projecteur}\Leftrightarrow Id-p\;\mbox{projecteur}]\] puis que \[[p\;\mbox{projecteur}\Rightarrow\mbox{Im}p=\mbox{Ker}(Id-p)\;\mbox{et}\;\mbox{Ker}p=\mbox{Im}(Id-p)\;\mbox{et}\; E=\mbox{Ker}p\oplus\mbox{Im}p].\]
Soient \(p\) et \(q\) deux projecteurs, montrer que : \([\mbox{Ker}p=\mbox{Ker}q\Leftrightarrow p=p\circ q\;\mbox{et}\;q=q\circ p]\).
\(p\) et \(q\) étant deux projecteurs vérifiant \(p\circ q+q\circ p=0\), montrer que \(p\circ q=q\circ p=0\). Donner une condition nécessaire et suffisante pour que \(p+q\) soit un projecteur lorsque \(p\) et \(q\) le sont. Dans ce cas, déterminer \(\mbox{Im}(p+q)\) et \(\mbox{Ker}(p+q)\) en fonction de \(\mbox{Ker}p\), \(\mbox{Ker}q\), \(\mbox{Im}p\) et \(\mbox{Im}q\).