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Montrer que $[\mbox{Ker}f=\mbox{Ker}f^2\Leftrightarrow\mbox{Ker}f\cap\mbox{Im}f=\{0\}]$ et $[\mbox{Im}f=\mbox{Im}f^2\Leftrightarrow E=\mbox{Ker}f+\mbox{Im}f]$ (où $f^2=f\circ f)$.

Par définition, un endomorphisme $p$ de $E$ est un projecteur si et seulement si $p^2=p$.

Montrer que $$[p\;\mbox{projecteur}\Leftrightarrow Id-p\;\mbox{projecteur}]$$ puis que $$[p\;\mbox{projecteur}\Rightarrow\mbox{Im}p=\mbox{Ker}(Id-p)\;\mbox{et}\;\mbox{Ker}p=\mbox{Im}(Id-p)\;\mbox{et}\; E=\mbox{Ker}p\oplus\mbox{Im}p].$$

Soient $p$ et $q$ deux projecteurs, montrer que : $[\mbox{Ker}p=\mbox{Ker}q\Leftrightarrow p=p\circ q\;\mbox{et}\;q=q\circ p]$.

$p$ et $q$ étant deux projecteurs vérifiant $p\circ q+q\circ p=0$, montrer que $p\circ q=q\circ p=0$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $p+q$ soit un projecteur lorsque $p$ et $q$ le sont. Dans ce cas, déterminer $\mbox{Im}(p+q)$ et $\mbox{Ker}(p+q)$ en fonction de $\mbox{Ker}p$, $\mbox{Ker}q$, $\mbox{Im}p$ et $\mbox{Im}q$.