Soient $(z,z')\in\Cc^2$ et $(\lambda,\mu)\in\Rr^2$ .

$f(\lambda z+\mu z')=(\lambda z+\mu z')+a(\overline{\lambda z+\mu z'})=\lambda(z+a{\bar z})+\mu(z'+a\overline{z'})=\lambda f(z)+\mu f(z').$ $f$ est donc $\Rr$ -linéaire. On note que $f(ia)=i(a-|a|^2)$ et que $if(a)=i(a+|a|^2)$ . Comme $a\neq0$ , on a $f(ia)\neq if(a)$ . $f$ n’est pas $\Cc$ -linéaire. Soit $z\in\Cc\setminus\{0\}$ . Posons $z=re^{i\theta}$ où $r\in\Rr^*_+$ et $\theta\in\Rr$ .

$z\in\mbox{Ker }f\Leftrightarrow z+a{\bar z}=0\Leftrightarrow e^{i\theta}+ae^{-i\theta}=0\Leftrightarrow e^{2i\theta}=-a.$ 1er cas. Si $|a|\neq1$ , alors, pour tout réel $\theta$ , $e^{2i\theta}\neq-a$ . Dans ce cas, $\mbox{Ker }f=\{0\}$ et d’après le théorème du rang, $\mbox{Im }f=\Cc$ . 2ème cas. Si $|a|=1$ , posons $a=e^{i\alpha}$ .

$e^{2i\theta}=-a\Leftrightarrow e^{2i\theta}=e^{i(\alpha+\pi)}\Leftrightarrow2\theta\in\alpha+\pi+2\pi\Zz\Leftrightarrow\theta\in\frac{\alpha+\pi}{2}+\pi\Zz.$ Dans ce cas, $\mbox{Ker }f=\mbox{Vect}(e^{i(\alpha+\pi)/2})$ . D’après le théorème du rang, $\mbox{Im }f$ est une droite vectorielle et pour déterminer $\mbox{Im }f$ , il suffit d’en fournir un vecteur non nul, comme par exemple $f(1)=1+a$ . Donc, si $a\neq-1$ , $\mbox{Im }f=\mbox{Vect}(1+a)$ . Si $a=-1$ , $\forall z\in\Cc,\;f(z)=z-{\bar z}=2i\mbox{Im }(z)$ et $\mbox{Im }f=i\Rr$ .

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