Soit $A=\{g\in\mathcal{L}(F,E)/\;f\circ g\circ f = 0\}$ . Tout d’abord $A$ est bien un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(F,E)$ car contient l’application nulle et est stable par combinaison linéaire (ou bien $A$ est le noyau de l’application linéaire de $\mathcal{L}(F,E)$ dans $\mathcal{L}(E,F)$ qui à $g$ associe $f\circ g\circ f$ ).

Soit $J$ un supplémentaire de $I=\text{Im}f$ dans $F$ . Un élément $g$ de $\mathcal{L}(F,E)$ est entièrement déterminé par ses restrictions à $I$ et $J$ .

$f\circ g\circ f = 0\Leftrightarrow(f\circ g)_{/I}= 0\;\text{et}\;g_{/J}\;\text{est quelconque}\Leftrightarrow g(I)\subset N$ .

Pour être le plus méticuleux possible, on peut alors considérer l’application $G$ de $\mathcal{L}(I,N)\times\mathcal{L}(J,E)$ dans $\mathcal{L}(F,E)$ qui à un couple $(g_1,g_2)$ associe l’unique application linéaire $g$ de $F$ dans $E$ telle que $g_{/I}= g_1$ et $g_{/J}=g_2$ . $G$ est linéaire et injective d’image $A$ . Donc

$\text{dim}A =\text{dim}\mathcal{L}(I,N)\times\text{dim}\mathcal{L}(J,E)=\text{dim}\mathcal{L}(I,N) + \text{dim}\mathcal{L}(J,E) = r(p - r) + (n - r)p = pn - r^2$ .

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