Soit $x\in E$ .

$\begin{align*} x\in\mbox{Ker }(f-2Id)\cap\mbox{Ker }(f-3Id) &\Rightarrow f(x)=2x\;\mbox{et}\;f(x)=3x \\ &\Rightarrow 3x-2x=f(x)-f(x)= 0 \\ &\Rightarrow x=0. \end{align*}$

Donc, $f^2-5f+6Id_E=0$ (même si $f^2-5f+6Id\neq0$ ).

Soit $x\in E$ . On cherche $y$ et $z$ tels que $y\in\mbox{Ker }(f-2Id)$ , $z\in\mbox{Ker }(f-3Id)$ et $x=y+z$ .

Si $y$ et $z$ existent, $y$ et $z$ sont solution du système $\left\{ \begin{array}{l} y+z=x\\ 2y+3z=f(x) \end{array} \right.$ et donc $\left\{ \begin{array}{l} y=3x-f(x)\\ z=f(x)-2x \end{array} \right.$ .

Réciproquement . Soient $x\in E$ puis $y=3x-f(x)$ et $z=f(x)-2x$ .

On a bien $y+z=x$ puis

$\begin{align*} f(y)&=3f(x)-f^2(x)=3f(x)-(5f(x)-6x)\quad(\mbox{car}\;f^2=5f-6Id)\\ &= 6x-2f(x)=2(3x-f(x))=2y \end{align*}$

et $y\in\mbox{Ker }(f-2Id)$ . De même,

$f(z)=f^2(x)-2f(x)=(5f(x)-6x)-2f(x)=3(f(x)-2x)=3z,$

et $z\in\mbox{Ker }(f-3Id)$ . On a montré que $E=\mbox{Ker }(f-2Id)+\mbox{Ker }(f-3d)$ , et finalement que

$E=\mbox{Ker }(f-2Id)\oplus\mbox{Ker }(f-3d).$

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