Soit \(x\in E\).

\[x\in\mbox{Ker }(f-2Id)\cap\mbox{Ker }(f-3Id)\Rightarrow f(x)=2x\;\mbox{et}\;f(x)=3x\Rightarrow 3x-2x=f(x)-f(x)= 0\Rightarrow x=0.\]

Donc, \(\mbox{Ker }(f-2Id)\cap\mbox{Ker }(f-3Id)=\{0\}\) (même si \(f^2-5f+6Id\neq0\)).

Soit \(x\in E\). On cherche \(y\) et \(z\) tels que \(y\in\mbox{Ker }(f-2Id)\), \(z\in\mbox{Ker }(f-3Id)\) et \(x=y+z\).

Si \(y\) et \(z\) existent, \(y\) et \(z\) sont solution du système \(\left\{ \begin{array}{l} y+z=x\\ 2y+3z=f(x) \end{array} \right.\) et donc \(\left\{ \begin{array}{l} y=3x-f(x)\\ z=f(x)-2x \end{array} \right.\).

Réciproquement . Soient \(x\in E\) puis \(y=3x-f(x)\) et \(z=f(x)-2x\).

On a bien \(y+z=x\) puis

\[\begin{align*} f(y)&=3f(x)-f^2(x)=3f(x)-(5f(x)-6x)\quad(\mbox{car}\;f^2=5f-6Id)\\ &= 6x-2f(x)=2(3x-f(x))=2y \end{align*}\]

et \(y\in\mbox{Ker }(f-2Id)\). De même,

\[f(z)=f^2(x)-2f(x)=(5f(x)-6x)-2f(x)=3(f(x)-2x)=3z,\]

et \(z\in\mbox{Ker }(f-3Id)\). On a montré que \(E=\mbox{Ker }(f-2Id)+\mbox{Ker }(f-3d)\), et finalement que

\[E=\mbox{Ker }(f-2Id)\oplus\mbox{Ker }(f-3d).\]

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