On définit un risque: 5%. Pour étudier la dépendance de ces caractères faisons l’hypothèse \(H_{0}\) : <<les deux caractères sont indépendants >> et voyons ce qui se passerait sous cette hypothèse. Notons les événements:

\(C\) : <<avoir un cancer dans la population observée>> \(F\): <<être fumeur dans la population observée>>

Si les événements \(F\) et \(C\) sont indépendants, alors: \(P(F\cap C)=P(F)\cdot P(C)\) et de même pour les trois autres possibilités: \(P(\overline{C}\cap F),\) \(P(\overline{C}\cap \overline{F}),P(C\cap \overline{F})\), quantités que l’on peut donc calculer sous \(H_{0}\):

\(P(F)=\frac{600}{1000}\), \(P(C)=\frac{500}{1000}\), \(P(F) \cdot P(C)=\frac{3}{10}\), alors l’effectif théorique correspondant à la catégorie <<fumeur et cancéreux>> est de \(300\). On en déduit le tableau théorique sous \(H_{0}\) :

Théorique	cancer	non cancer	marge
	300	300	600
	200	200	400
	500	500	1000

On calcule alors la valeur de \(s=\sum_{i=1}^{i=4} \frac{(O_i-T_i)^{2}}{T_i}\) : on obtient : \(s=34.73\). On a précisé le risque de %, mais pour \(\alpha =0,001\), on lit dans la table du khi-deux à un degré de liberté : \(P[\chi ^{2}\geq 10.83]=0.001\) et le \(\chi^{2}\) calculé est \(34.73\)! On décide de rejeter \(H_{0}\). Ainsi, en rejetant l’hypothèse de l’indépendance des caractères <<être fumeur>> et <<avoir un cancer de la gorge>>, on a moins de une chance sur \(1000\) de se tromper, puisque moins de un tableau possible sur mille conduit à un calcul de \(\chi ^{2}\) plus grand que \(10.83\) ; beaucoup moins sans doute, conduiraient à un calcul de \(\chi ^{2}\) plus grand que \(34.73\).

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