On note \(p\) la proportion inconnue. Soit \(X_i\) la variable qui vaut 1 si le \(i\)-ème électeur interrogé déclare avoir l’intention de voter pour A, 0 sinon. Les \(X_i\) sont indépendantes et suivent une loi de Bernoulli \(\mathcal{B}(p)\), donc le nombre \(Z=\sum_{i=1}^{1000}\) d’électeurs favorables à A dans un échantillon de 1000 électeurs suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(p,1000)\). Comme \(p\) semble de l’ordre de 0,5, on peut approcher \(\mathcal{B}(p,1000)\) par \(\mathcal{N}(1000p,\sqrt{1000p(1-p)})\). De nouveau, comme \(n=1000\) est grand, on peut estimer \(p\) par la fréquence \(f=0,521\) observée dans l’échantillon, et supposer que l’écart-type de la variable fréquence d’échantillon \(F=Z/1000\) vaut \(\sqrt{p(1-p)}/\sqrt{1000}\simeq 0,0158\). Comme la variable \(\displaystyle \frac{F-p}{\sigma(F)}\) est normale standard, la probabilité que l’intervalle \([f-1,96\times 0,0158,f+1,96\times 0,0158]\) ne contienne pas \(p\) est inférieure à 0,05. On conclut que \([0,49, 0,55]\) (autrement dit \(52\pm 3\)%) est intervalle de confiance relatif à \(p\) au seuil de 95%.

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