L2 Analyse Topologie Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSI 2 questions

exo7 4820

Soit EE un evn de dimension finie et u∈L(E)u \in \mathcal{L}(E). On pose xn=∥un∥x_n = \|u^n\|.

1

Montrer que ρ=inf⁡{xnn, n∈N}\rho = \inf\{\sqrt[n]{x_n},\ n\in \N\} est indépendant de la norme choisie sur EE.

2

En utilisant l’inégalité : xp+q≤xpxqx_{p+q} \le x_p x_q, montrer que la suite (xnn )(\sqrt[n] {x_n}\,) converge vers ρ\rho.

Exercice 8RMU

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