Soit \(A\) une matrice \(2\times 2\) à coefficients réels. \[A=\begin{pmatrix}a&b \\ c&d\end{pmatrix}\] On suppose \(a+c=b+d=1\) et \(a-b\neq 1\).
1
Soient \((x_1,x_2)\), \((y_1,y_2)\) deux vecteurs de \(\R^2\), tels que \[A\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\end{pmatrix}\] montrer qu’alors \[y_1+y_2=x_1+x_2.\]
2
Soit le vecteur \(\vec x=(1,-1)\), vérifier que \(\vec x\) est un vecteur propre de \(A\), et déterminer sa valeur propre.
3
Déterminer le polynôme caractéristique de \(A\) et calculer ses racines.
4
Déterminer un vecteur propre, \(\vec y\), de \(A\) non colinéaire à \(\vec x\) et exprimer la matrice de l’endomorphisme défini par \(A\) dans la base \((\vec x,\vec y)\).