exo7 2611

Soient $(x_1,x_2)$, $(y_1,y_2)$ deux vecteurs de $\R^2$, tels que $$A\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\end{pmatrix}$$ montrer qu’alors $$y_1+y_2=x_1+x_2.$$

Soit le vecteur $\vec x=(1,-1)$, vérifier que $\vec x$ est un vecteur propre de $A$, et déterminer sa valeur propre.

Déterminer le polynôme caractéristique de $A$ et calculer ses racines.

Déterminer un vecteur propre, $\vec y$, de $A$ non colinéaire à $\vec x$ et exprimer la matrice de l’endomorphisme défini par $A$ dans la base $(\vec x,\vec y)$.