Dire si les objets suivants sont des espaces vectoriels :
L’ensemble des fonctions réelles sur \(\lbrack0,1 \rbrack\), continues, positives ou nulles, pour l’addition et le produit par un réel.
L’ensemble des fonctions réelles sur \({ \bf R}\) vérifiant \(\lim_{x \to+\infty} f(x)=0\) pour les mêmes opérations.
L’ensemble des solutions \((x_1,x_2,x_3)\) du système : \(\left\{\begin{array}{rcl} 2x_1-x_2+x_3 &=&0 \\ x_1-4x_2+7x_3 &=&0 \\ x_1+3x_2-6x_3 &=&0. \end{array}\right.\)
L’ensemble des fonctions continues sur \(\lbrack0,1 \rbrack\) vérifiant \(f(1/2)=0\).
L’ensemble \(\mathbb{R}_+^*\) pour les opérations \(x \oplus y=xy\) et \(\lambda\cdot x=x^{\lambda}\), \((\lambda\in\mathbb{R})\).
L’ensemble des fonctions impaires sur \(\mathbb{R}\).
L’ensemble des fonctions sur \(\lbrack a,b \rbrack\) continues, vérifiant \(f(a)=7f(b)+\int_a^b t^3f(t)\,dt\).
L’ensemble des fonctions sur \(\mathbb{R}\) qui sont nulle en \(1\) ou nulle en \(4\).
L’ensemble des fonctions sur \(\mathbb{R}\) qui peuvent s’écrire comme somme d’une fonction nulle en \(1\) et d’une fonction nulle en \(4\). Identifier cet ensemble.
L’ensemble des polynômes de degré exactement \(n\).
L’ensemble des fonctions de classe \(C^2\) vérifiant \(f''+\omega^2f=0\).
L’ensemble des fonctions sur \(\mathbb{R}\) telles que \(f(3)=7\).
L’ensemble des primitives de la fonction \(xe^x\) sur \(\mathbb{R}\).
L’ensemble des nombres complexes d’argument \(\pi/4+k\pi\), \((k\in\mathbb{Z})\).
L’ensemble des points \((x,y)\) de \(\mathbb{R}^2\), vérifiant \(\sin(x+y)=0\).
L’ensemble des vecteurs \((x,y,z)\) de \(\mathbb{R}^3\) orthogonaux au vecteur \((-1,3,-2)\).
L’ensemble des fonctions continues sur \(\lbrack0,1 \rbrack\) vérifiant \(\int_0^1\sin x f(x)\,dx=0\).
L’ensemble des polynômes ne comportant pas de terme de degré \(7\).
L’ensemble des fonctions paires sur \(\mathbb{R}\).