Montrer que les ensembles ci-dessous sont des espaces vectoriels (sur \(\Rr\)) :
\(E_1 = \big\{ f : [0,1] \to \Rr \big\}\) : l’ensemble des fonctions à valeurs réelles définies sur l’intervalle \([0,1]\), muni de l’addition \(f+g\) des fonctions et de la multiplication par un nombre réel \(\lambda \cdot f\).
\(E_2 = \big\{ (u_n) : \Nn \to \Rr \big\}\) : l’ensemble des suites réelles muni de l’addition des suites définie par \((u_n)+(v_n)=(u_n+v_n)\) et de la multiplication par un nombre réel \(\lambda \cdot (u_n) = (\lambda \times u_n)\).
\(E_3 = \big\{ P \in \Rr[x] \mid \deg P \le n \big\}\) : l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à \(n\) muni de l’addition \(P+Q\) des polynômes et de la multiplication par un nombre réel \(\lambda \cdot P\).