Sens $\Leftarrow$ . Si $F\subset G$ alors $F\cup G=G$ donc $F\cup G$ est un sous-espace vectoriel. De même si $G\subset F$ .

Sens $\Rightarrow$ . On suppose que $F\cup G$ est un sous-espace vectoriel. Par l’absurde supposons que $F$ n’est pas inclus dans $G$ et que $G$ n’est pas inclus dans $F$ . Alors il existe $x\in F\setminus G$ et $y\in G\setminus F$ . Mais alors $x\in F\cup G$ , $y\in F\cup G$ donc $x+y\in F\cup G$ (car $F\cup G$ est un sous-espace vectoriel). Comme $x+y\in F\cup G$ alors $x+y\in F$ ou $x+y\in G$ .

Si $x+y\in F$ alors, comme $x\in F$ , $(x+y)+(-x) \in F$ donc $y\in F$ , ce qui est absurde.
Si $x+y\in G$ alors, comme $y\in G$ , $(x+y)+(-y) \in G$ donc $x\in G$ , ce qui est absurde.

Dans les deux cas nous obtenons une contradiction. Donc $F$ est inclus dans $G$ ou $G$ est inclus dans $F$ . Supposons $G\subset F$ .

Inclusion $\supset$ . Soit $x\in G+(F\cap H)$ . Alors il existe $a\in G$ , $b\in F\cap H$ tels que $x=a+b$ . Comme $G\subset F$ alors $a\in F$ , de plus $b\in F$ donc $x=a+b\in F$ . D’autre part $a\in G$ , $b\in H$ , donc $x=a+b\in G+H$ . Donc $x\in F\cap(G+H)$ .
Inclusion $\subset$ . Soit $x\in F\cap(G+H)$ . $x\in G+H$ alors il existe $a\in G$ , $b\in H$ tel que $x=a+b$ . Maintenant $b=x-a$ avec $x\in F$ et $a\in G\subset F$ , donc $b\in F$ , donc $b\in F\cap H$ . Donc $x=a+b\in G+(F\cap H)$ .

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