Sens \(\Leftarrow\). Si \(F\subset G\) alors \(F\cup G=G\) donc \(F\cup G\) est un sous-espace vectoriel. De même si \(G\subset F\).

Sens \(\Rightarrow\). On suppose que \(F\cup G\) est un sous-espace vectoriel. Par l’absurde supposons que \(F\) n’est pas inclus dans \(G\) et que \(G\) n’est pas inclus dans \(F\). Alors il existe \(x\in F\setminus G\) et \(y\in G\setminus F\). Mais alors \(x\in F\cup G\), \(y\in F\cup G\) donc \(x+y\in F\cup G\) (car \(F\cup G\) est un sous-espace vectoriel). Comme \(x+y\in F\cup G\) alors \(x+y\in F\) ou \(x+y\in G\).

Si \(x+y\in F\) alors, comme \(x\in F\), \((x+y)+(-x) \in F\) donc \(y\in F\), ce qui est absurde. Si \(x+y\in G\) alors, comme \(y\in G\), \((x+y)+(-y) \in G\) donc \(x\in G\), ce qui est absurde.

Dans les deux cas nous obtenons une contradiction. Donc \(F\) est inclus dans \(G\) ou \(G\) est inclus dans \(F\). Supposons \(G\subset F\).

Inclusion \(\supset\). Soit \(x\in G+(F\cap H)\). Alors il existe \(a\in G\), \(b\in F\cap H\) tels que \(x=a+b\). Comme \(G\subset F\) alors \(a\in F\), de plus \(b\in F\) donc \(x=a+b\in F\). D’autre part \(a\in G\), \(b\in H\), donc \(x=a+b\in G+H\). Donc \(x\in F\cap(G+H)\). Inclusion \(\subset\). Soit \(x\in F\cap(G+H)\). \(x\in G+H\) alors il existe \(a\in G\), \(b\in H\) tel que \(x=a+b\). Maintenant \(b=x-a\) avec \(x\in F\) et \(a\in G\subset F\), donc \(b\in F\), donc \(b\in F\cap H\). Donc \(x=a+b\in G+(F\cap H)\).

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