Soit \(n\) un entier naturel non nul. Soient \(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots y_n\) des réels.
1
Justifier que, pour tout \(t\in \R\), \[\sum_{i=1}^n \left(|x_i|+t|y_i|\right)^2 = at^2+bt+c\] où \(a, b\) et \(c\) sont trois réels à exprimer en fonction des \((x_i)\) et des \((y_i)\).
2
En déterminant le signe du trinôme du second degré précédent de deux manières différentes, montrer que \[\sum_{i=1}^n \left|x_iy_i\right| \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2}\] Cette inégalité est appelée inégalité de Cauchy-Schwarz.
3
En appliquant la précédente inégalité à des réels bien choisis, montrer que \[\frac{6n}{(n+1)(2n+1)} \leq \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}\]