Soit \(f=x^{2}+y^{2}+1\in A[x,y]\) (\(A=\Cc,\Rr,\Qq,\Zz,\Zz_{2}\)). Soit \(B=A[y]\), et regardons \(f\) comme un polynôme de \(B[x]\). Le coefficient dominant de \(f\) (qui est \(1\)) est inversible dans \(B\), donc on peut effectuer la division euclidienne de tout polynôme par \(f\) : \(\forall g\in B[y], \exists(q,r)\in B[x]^{2}, g=qf+r\) et \(\deg_{x}r\leq 1\). Notons \(r=a(y)x+b(y), a,b\in A[y]\). De plus, pour des raisons de degré, le quotient et le reste de cette division sont uniques. On peut donc identifier \(A[x,y]/(x^{2}+y^{2}+1)\) à \(\{a(y)x+b(y),\ a(y),b(y)\in A[y]\}\). Supposons que \(\bar{y}\) soit inversible dans cet quotient. Il existe \(a,b\in A[y]\) tels que \(y(a(y)x+b(y))=\bar{1}\). On a donc \(ya(y)=0\) et \(yb(y)=1\), ce qui est impossible.

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