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En utilisant les opérations d’addition $+$ et de multiplication $\cdot$ de deux nombres, définir, pour chaque ensemble $E$ de la liste ci-dessous :

une addition $\oplus~: E \times E \rightarrow E$ ;

une multiplication par un nombre réel $\odot~: \mathbb{R}\times E \rightarrow E$.

$E = \mathbb{R}^n$ ;

$E =$ l’ensemble des trajectoires d’une particule ponctuelle dans l’espace $\mathbb{R}^3$ ;

$E = \textrm{l'ensemble des solutions}\,\,\,(x, y, z)\in \mathbb{R}^3\,\,\, \textrm{de l'équation} \quad \mathcal{S}_1~: x - 2y + 3z = 0 ;$

$E = \textrm{l'ensemble des solutions}\,\,\,(x, y, z)\in \mathbb{R}^3\,\,\,\textrm{du système d'équations}$. $$\mathcal{S} _2~: \left\{ \begin{array}{l} 2x + 4y - 6z = 0\\ y + z = 0\end{array} \right. ;$$

$E =$ l’ensemble des solutions de l’équation différentielle $y'' + 2 y' + 3 y = 0$ ;

$E =$ l’ensemble des fonctions $y(x)$ telles que $$y''(x)\sin x + x^3 y'(x) + y(x)\log x = 0,\,\,\, \forall x >0 ;$$

$E =$ l’ensemble des fonctions $\Psi(t, x)$, à valeurs complexes, solutions de l’équation de Schrödinger : $$i \hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(t, x) = -\frac{\hbar}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x, t) + x^2\Psi(t, x)$$ où $\hbar$ et $m$ sont des constantes ;

$E = \textrm{ l'ensemble des suites}\,\,\, (x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de nombres réels ;

$E =$ l’ensemble des polynômes $P(x)$ à coefficients réels ;

$E =$ l’ensemble des polynômes $P(x)$ à coefficients réels de degré inférieur ou égal à $3$ ;

$E =$ l’ensemble des polynômes $P(x)$ à coefficients réels divisibles par $(x - 1)$ ;

$E =$ l’ensemble des fonctions continues sur l’intervalle $[0, 1]$ à valeurs réelles ;

$E =$ l’ensemble des fonctions continues sur l’intervalle $[0, 1]$ à valeurs réelles et d’intégrale nulle ;

$E =$ l’ensemble des fonctions dérivables sur l’intervalle $]0, 1[$ à valeurs réelles ;

$E =$ l’ensemble des fonctions réelles qui s’annulent en $0 \in \mathbb{R}$.

$E =$ l’ensemble des fonctions réelles qui tendent vers $0$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ;