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Dans l’espace $\mathcal{P}_5$ des polynômes de degré $\leq 5$ , on définit les sous-ensembles : $E_1=\{P\in\mathcal{P}_5 \mid P(0)=0\}$ $E_2=\{P\in\mathcal{P}_5 \mid P'(1)=0\}$ $E_3=\{P\in\mathcal{P}_5 \mid x^2+1 \mbox{ divise } P\}$ $E_4=\{P\in\mathcal{P}_5 \mid x\mapsto P(x) \mbox{ est une fonction paire}\}$ $E_5=\{P\in\mathcal{P}_5 \mid \forall x,\; P(x)=xP'(x)\}$ .

Déterminer des bases des sous-espaces vectoriels $E_1$ , $E_2$ , $E_3$ , $E_4$ , $E_5$ , $E_1\cap E_2$ , $E_1\cap E_3$ , $E_1\cap E_2\cap E_3$ , $E_1\cap E_2\cap E_3\cap E_4$ .

Déterminer dans $\mathcal{P}_5$ des sous-espaces supplémentaires de $E_4$ et de $E_1\cap E_3$ .

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