Dans l’espace \(\mathcal{P}_5\) des polynômes de degré \(\leq 5\), on définit les sous-ensembles : \(E_1=\{P\in\mathcal{P}_5 \mid P(0)=0\}\) \(E_2=\{P\in\mathcal{P}_5 \mid P'(1)=0\}\) \(E_3=\{P\in\mathcal{P}_5 \mid x^2+1 \mbox{ divise } P\}\) \(E_4=\{P\in\mathcal{P}_5 \mid x\mapsto P(x) \mbox{ est une fonction paire}\}\) \(E_5=\{P\in\mathcal{P}_5 \mid \forall x,\; P(x)=xP'(x)\}\).
1
Déterminer des bases des sous-espaces vectoriels \(E_1\), \(E_2\), \(E_3\), \(E_4\), \(E_5\), \(E_1\cap E_2\), \(E_1\cap E_3\), \(E_1\cap E_2\cap E_3\), \(E_1\cap E_2\cap E_3\cap E_4\).
2
Déterminer dans \(\mathcal{P}_5\) des sous-espaces supplémentaires de \(E_4\) et de \(E_1\cap E_3\).