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Soient $m,n\in [1,+\infty[$ , $d=\mathrm{pgcd} (m,n)$ et $P=X^m-1, Q=X^n-1, D=X^d-1 \in\Cc[X]$ .

Montrer que si $x\in\Cc$ est racine commune de $P$ et $Q$ alors $x$ est racine de $D$ (on pourra utiliser l’égalité de Bézout dans $\Zz$ ).

Montrer que si $y\in\Cc$ est racine de $D$ alors $y$ est racine commune de $P$ et $Q$ (utiliser la définition de $d$ ).