Soit \(f\in L(E)\) où \(E\) est un \({K}\)-espace vectoriel de dimension \(n\), tel que : \[f^{2}=-Id.\]
1
Montrer que \(f\) est inversible et que la dimension de \(E\) est paire, donc \(n=2p.\)
2
Soit \(x\neq 0,\) monter que \(x\) et \(f(x)\) sont linéairement indépendants, et qu’ils engendrent un sous-espace stable de \(E.\)
3
Montrer qu’il existe \(p\) sous-espaces de dimension deux stables par \(f\), \(E_{1}...E_{p}\) tels que : \(E=\bigoplus\limits_{i=1}^{p}E_{i}.\) En déduire une “bonne” formule de calcul de \(f.\)