L1 Algèbre Espace vectoriel Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PT 3 questions

exo7 1038

Soit f∈L(E)f\in L(E) où EE est un K{K}-espace vectoriel de dimension nn, tel que : f2=−Id.f^{2}=-Id.

1

Montrer que ff est inversible et que la dimension de EE est paire, donc n=2p.n=2p.

2

Soit x≠0,x\neq 0, monter que xx et f(x)f(x) sont linéairement indépendants, et qu’ils engendrent un sous-espace stable de E.E.

3

Montrer qu’il existe pp sous-espaces de dimension deux stables par ff, E1...EpE_{1}...E_{p} tels que : E=⨁i=1pEi.E=\bigoplus\limits_{i=1}^{p}E_{i}. En déduire une “bonne” formule de calcul de f.f.

Exercice 9a23

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