C’est bien une base. Comme nous avons trois vecteurs et nous souhaitons montrer qu’ils forment un base d’un espace vectoriel de dimension $3$ , il suffit de montrer que soit la famille est libre, soit elle est génératrice (ces conditions sont équivalentes pour $n$ vecteurs dans un espace vectoriel de dimension $n$ ).

Il est plus simple de montrer que la famille est libre. Soit une combinaison linéaire nulle $a v_1+b v_2+c v_3=0$ il faut montrer que $a=b=c=0$ . Mais attention ici le corps de base est $K=\Cc$ donc $a,b,c$ sont des nombres complexes.

$\begin{align*} & a v_1+b v_2+c v_3=0 \\ \iff & a (1,-1,i) + b (-1,i,1) + c (i,1,-1) = (0,0,0) \\ \iff & (a-b+ic,-a+ib+c,ia+b-c)=(0,0,0) \\ \iff & \begin{cases} a-b+ic = 0 \\ -a+ib+c = 0 \\ ia+b-c = 0 \\ \end{cases} \\ \iff & \cdots \text{ on résout le système } \\ \iff & a=0, b=0, c=0 \\ \end{align*}$

La famille $(v_1,v_2,v_3)$ est libre, donc aussi génératrice ; c’est donc une base de $\Cc^3$ .

exo7 1006