C’est bien une base. Comme nous avons trois vecteurs et nous souhaitons montrer qu’ils forment un base d’un espace vectoriel de dimension \(3\), il suffit de montrer que soit la famille est libre, soit elle est génératrice (ces conditions sont équivalentes pour \(n\) vecteurs dans un espace vectoriel de dimension \(n\)).

Il est plus simple de montrer que la famille est libre. Soit une combinaison linéaire nulle \(a v_1+b v_2+c v_3=0\) il faut montrer que \(a=b=c=0\). Mais attention ici le corps de base est \(K=\Cc\) donc \(a,b,c\) sont des nombres complexes.

\[\begin{align*} & a v_1+b v_2+c v_3=0 \\ \iff & a (1,-1,i) + b (-1,i,1) + c (i,1,-1) = (0,0,0) \\ \iff & (a-b+ic,-a+ib+c,ia+b-c)=(0,0,0) \\ \iff & \begin{cases} a-b+ic = 0 \\ -a+ib+c = 0 \\ ia+b-c = 0 \\ \end{cases} \\ \iff & \cdots \text{ on résout le système } \\ \iff & a=0, b=0, c=0 \\ \end{align*}\]

La famille \((v_1,v_2,v_3)\) est libre, donc aussi génératrice ; c’est donc une base de \(\Cc^3\).

exo7 1006