D’après 1), \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) et \(\sqrt{6}\) sont irrationnels.

\(E=\mbox{Vect}_\Qq(1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6})\) et donc, \(E\) est un \(\Qq\)-espace vectoriel et \((1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6})\) en est une famille génératrice.

Montrons que cette famille est \(\Qq\)-libre.

Soit \((a,b,c,d)\in\Qq^4\).

\[\begin{align*} a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}=0&\Rightarrow(a+d\sqrt{6})^2=(-b\sqrt{2}-c\sqrt{3})^2 \Rightarrow a^2+2ad\sqrt{6}+6d^2=2b^2+2bc\sqrt{6}+3c^2\\ &\Rightarrow a^2-2b^2-3c^2+6d^2=2(-ad+bc)\sqrt{6} \end{align*}\]

Puisque \(\sqrt{6}\notin\Qq\), on obtient \(a^2-2b^2-3c^2+6d^2=2(-ad+bc)=0\) (car si \(bc-ad\neq0\), \(\sqrt{6}=\frac{a^2-2b^2-3c^2+6d^2}{2(-ad+bc)}\in\Qq\)) ou encore,

\[\left\{ \begin{array}{l} a^2-3c^2=2b^2-6d^2\quad(1)\\ ad=bc\quad(2) \end{array} \right..\]

De même,

\[\begin{align*} a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}=0&\Rightarrow(a+c\sqrt{3})^2=(-b\sqrt{2}-d\sqrt{6})^2 \Rightarrow(a^2+2ac\sqrt{3}+3c^2=2b^2+4bd\sqrt{3}+6d^2\\ &\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} a^2+3c^2=2b^2+6d^2\quad(3)\\ ac=2bd\quad(4) \end{array} \right.. \end{align*}\]

(puisque \(\sqrt{3}\) est irrationnel). En additionnant et en retranchant (1) et (3), on obtient \(a^2=2b^2\) et \(c^2=2d^2\).Puisque \(\sqrt{2}\) est irrationnel, on ne peut avoir \(b\neq0\) (car alors \(\sqrt{2}=\pm\frac{a}{b}\in\Qq\)) ou \(d\neq0\). Donc, \(b=d=0\) puis \(a=c=0\). Finalement, la famille \((1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6})\) est \(\Qq\)-libre et est donc une base de E.

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