D’après 1), $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ et $\sqrt{6}$ sont irrationnels.

$E=\mbox{Vect}_\Qq(1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6})$ et donc, $E$ est un $\Qq$ -espace vectoriel et $(1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6})$ en est une famille génératrice.

Montrons que cette famille est $\Qq$ -libre.

Soit $(a,b,c,d)\in\Qq^4$ .

$\begin{align*} a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}=0&\Rightarrow(a+d\sqrt{6})^2=(-b\sqrt{2}-c\sqrt{3})^2 \Rightarrow a^2+2ad\sqrt{6}+6d^2=2b^2+2bc\sqrt{6}+3c^2\\ &\Rightarrow a^2-2b^2-3c^2+6d^2=2(-ad+bc)\sqrt{6} \end{align*}$

Puisque $\sqrt{6}\notin\Qq$ , on obtient $a^2-2b^2-3c^2+6d^2=2(-ad+bc)=0$ (car si $bc-ad\neq0$ , $\sqrt{6}=\frac{a^2-2b^2-3c^2+6d^2}{2(-ad+bc)}\in\Qq$ ) ou encore,

$\left\{ \begin{array}{l} a^2-3c^2=2b^2-6d^2\quad(1)\\ ad=bc\quad(2) \end{array} \right..$

De même,

$\begin{align*} a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}=0&\Rightarrow(a+c\sqrt{3})^2=(-b\sqrt{2}-d\sqrt{6})^2 \Rightarrow(a^2+2ac\sqrt{3}+3c^2=2b^2+4bd\sqrt{3}+6d^2\\ &\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} a^2+3c^2=2b^2+6d^2\quad(3)\\ ac=2bd\quad(4) \end{array} \right.. \end{align*}$

(puisque $\sqrt{3}$ est irrationnel). En additionnant et en retranchant (1) et (3), on obtient $a^2=2b^2$ et $c^2=2d^2$ .Puisque $\sqrt{2}$ est irrationnel, on ne peut avoir $b\neq0$ (car alors $\sqrt{2}=\pm\frac{a}{b}\in\Qq$ ) ou $d\neq0$ . Donc, $b=d=0$ puis $a=c=0$ . Finalement, la famille $(1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6})$ est $\Qq$ -libre et est donc une base de E.

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