Les fonctions $f_1$ , $f_2$ et $f_3$ sont bien définies sur $\Rr^+$ .

Soient $a$ , $b$ et $c$ trois réels tels que $af_1+bf_2 +cf_3=0$ .

Première solution. Si $a$ est non nul, la fonction $af_1+bf_2+cf_3$ est équivalente au voisinage de $+\infty$ à $a\ln x$ et ne peut donc être égale à la fonction nulle. Donc $a=0$ . Puis si $b$ est non nul, la fonction $af_1+bf_2+cf_3=bf_2+cf_3$ est équivalente à $b\ln(\ln x)$ et ne peut être égale à la fonction nulle. Donc $b =0$ . Puis $c=0$ .

Deuxième solution. On effectue un développement limité à un ordre suffisant de la fonction $af_1+bf_2+cf_3$ quand $x$ tend vers $0$ :

$f_1(x)=\ln(1+x)\underset{x\rightarrow0}{=}x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$ puis

$\begin{align*}\ensuremath f_2(x)&=\ln(1+f_1(x))\underset{x\rightarrow0}{=}\ln\left(1+x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\right) =\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}\right)-\frac{1}{2}\left(x-\frac{x^2}{2}\right)^2+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\\ &=x-x^2+\frac{7}{6}x^3+o(x^3) \end{align*}$

puis

$\begin{align*}\ensuremath f_3(x)&=\ln(1+f_2(x))\underset{x\rightarrow0}{=}\ln\left(1+x-x^2+\frac{7}{6}x^3+o(x^3)\right)=\left(x-x^2+\frac{7}{6}x^3\right)-\frac{1}{2}\left(x-x^2\right)^2+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\\ &=x-\frac{3}{2}x^2+\frac{5}{2}x^3+o(x^3). \end{align*}$

Par suite, $af_1(x)+bf_2(x)+cf_3(x)\underset{x\rightarrow0}{=}(a+b+c)x+\left(-\frac{a}{2}-b-\frac{3c}{2}\right)x^2+\left(\frac{a}{3}+\frac{7b}{6}+\frac{5c}{2}\right)x^3+o(x^3)$ . L’égalité $af_1+bf_2+cf_3=0$ fournit, par identification des parties régulières des développements limités à l’ordre trois en zéro :

$\left\{ \begin{array}{l} a+b+c=0\\ -\frac{a}{2}-b-\frac{3c}{2}=0\\ \rule{0mm}{6mm}\frac{a}{3}+\frac{7b}{6}+\frac{5c}{2} \end{array} \right.$ ou encore $\left\{ \begin{array}{l} a+b+c=0\\ a+2b+3c=0\\ 2a+7b+15c=0 \end{array} \right.$ .

Comme $\left| \begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 1&2&3\\ 2&7&15 \end{array} \right|=\left| \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 1&1&1\\ 2&5&8 \end{array} \right|=3\neq0$ , on a donc $a=b=c=0$ .

exo7 5568