Les fonctions \(f_1\), \(f_2\) et \(f_3\) sont bien définies sur \(\Rr^+\).

Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels tels que \(af_1+bf_2 +cf_3=0\).

Première solution. Si \(a\) est non nul, la fonction \(af_1+bf_2+cf_3\) est équivalente au voisinage de \(+\infty\) à \(a\ln x\) et ne peut donc être égale à la fonction nulle. Donc \(a=0\). Puis si \(b\) est non nul, la fonction \(af_1+bf_2+cf_3=bf_2+cf_3\) est équivalente à \(b\ln(\ln x)\) et ne peut être égale à la fonction nulle. Donc \(b =0\). Puis \(c=0\).

Deuxième solution. On effectue un développement limité à un ordre suffisant de la fonction \(af_1+bf_2+cf_3\) quand \(x\) tend vers \(0\) :

\(f_1(x)=\ln(1+x)\underset{x\rightarrow0}{=}x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\) puis

\[\begin{align*}\ensuremath f_2(x)&=\ln(1+f_1(x))\underset{x\rightarrow0}{=}\ln\left(1+x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\right) =\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}\right)-\frac{1}{2}\left(x-\frac{x^2}{2}\right)^2+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\\ &=x-x^2+\frac{7}{6}x^3+o(x^3) \end{align*}\]

puis

\[\begin{align*}\ensuremath f_3(x)&=\ln(1+f_2(x))\underset{x\rightarrow0}{=}\ln\left(1+x-x^2+\frac{7}{6}x^3+o(x^3)\right)=\left(x-x^2+\frac{7}{6}x^3\right)-\frac{1}{2}\left(x-x^2\right)^2+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\\ &=x-\frac{3}{2}x^2+\frac{5}{2}x^3+o(x^3). \end{align*}\]

Par suite, \(af_1(x)+bf_2(x)+cf_3(x)\underset{x\rightarrow0}{=}(a+b+c)x+\left(-\frac{a}{2}-b-\frac{3c}{2}\right)x^2+\left(\frac{a}{3}+\frac{7b}{6}+\frac{5c}{2}\right)x^3+o(x^3)\). L’égalité \(af_1+bf_2+cf_3=0\) fournit, par identification des parties régulières des développements limités à l’ordre trois en zéro :

\(\left\{ \begin{array}{l} a+b+c=0\\ -\frac{a}{2}-b-\frac{3c}{2}=0\\ \rule{0mm}{6mm}\frac{a}{3}+\frac{7b}{6}+\frac{5c}{2} \end{array} \right.\) ou encore \(\left\{ \begin{array}{l} a+b+c=0\\ a+2b+3c=0\\ 2a+7b+15c=0 \end{array} \right.\).

Comme \(\left| \begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 1&2&3\\ 2&7&15 \end{array} \right|=\left| \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 1&1&1\\ 2&5&8 \end{array} \right|=3\neq0\), on a donc \(a=b=c=0\).

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