$\forall P\in E$ , $f(P)=P'$ est un polynôme et donc $f$ est une application de $E$ vers $E$ .

$\forall(P,Q)\in E^2,\;\forall(\lambda,\mu)\in\Rr^2,\;f(\lambda P+\mu Q)=(\lambda P+\mu Q)'=\lambda P'+\mu Q'=\lambda f(P)+\mu f(Q)$ et $f$ est un endomorphisme de $E$ .

Soit $P\in E$ . $P\in\mbox{Ker}f\Leftrightarrow P'=0\Leftrightarrow P$ est constant. $\mbox{Ker}f$ n’est pas nul et $f$ n’est pas injective.

Soient $Q\in E$ puis $P$ le polynôme défini par : $\forall x\in\Rr,\;P(x)=\int_{0}^{x}Q(t)\;dt$ . $P$ est bien un polynôme tel que $f(P)=Q$ . $f$ est surjective.

Soit $F=\{P\in E/\;P(0) = 0\}$ . $F$ est un sous espace de $E$ en tant que noyau de la forme linéaire $P\mapsto P(0)$ . $\mbox{Ker}f\cap F=\{0\}$ car si un polynôme est constant et s’annule en $0$ , ce polynôme est nul. Enfin, si $P$ est un polynôme quelconque, $P=P(0)+(P-P(0))$ et $P$ s’écrit bien comme la somme d’un polynôme constant et d’un polynôme s’annulant en $0$ . Finalement $E=\mbox{Ker}f\oplus F$ . On montre facilement que $g$ est un endomorphisme de $E$ .

$P\in\mbox{Ker}g\Rightarrow\forall x\in\Rr,\;\int_{0}^{x}P(t)\;dt=0\Rightarrow\forall x\in\Rr,\;P(x)=0$ (en dérivant). Donc, $\mbox{Ker}g=\{0\}$ et donc $g$ est injective.

Si P est dans $\mbox{Im}g$ alors $P(0)=0$ ce qui montre que $g$ n’est pas surjective. De plus, si $P(0)=0$ alors $\int_{0}^{x}P'(t)\;dt=P(x)-P(0)=P(x)$ ce qui montre que $P=g(P')$ est dans $\mbox{Im}g$ et donc que $\mbox{Im}g=\{P\in E/\;P(0)=0\}$ .

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