\(\forall P\in E\), \(f(P)=P'\) est un polynôme et donc \(f\) est une application de \(E\) vers \(E\).

\(\forall(P,Q)\in E^2,\;\forall(\lambda,\mu)\in\Rr^2,\;f(\lambda P+\mu Q)=(\lambda P+\mu Q)'=\lambda P'+\mu Q'=\lambda f(P)+\mu f(Q)\) et \(f\) est un endomorphisme de \(E\).

Soit \(P\in E\). \(P\in\mbox{Ker}f\Leftrightarrow P'=0\Leftrightarrow P\) est constant. \(\mbox{Ker}f\) n’est pas nul et \(f\) n’est pas injective.

Soient \(Q\in E\) puis \(P\) le polynôme défini par : \(\forall x\in\Rr,\;P(x)=\int_{0}^{x}Q(t)\;dt\). \(P\) est bien un polynôme tel que \(f(P)=Q\). \(f\) est surjective.

Soit \(F=\{P\in E/\;P(0) = 0\}\). \(F\) est un sous espace de \(E\) en tant que noyau de la forme linéaire \(P\mapsto P(0)\). \(\mbox{Ker}f\cap F=\{0\}\) car si un polynôme est constant et s’annule en \(0\), ce polynôme est nul. Enfin, si \(P\) est un polynôme quelconque, \(P=P(0)+(P-P(0))\) et \(P\) s’écrit bien comme la somme d’un polynôme constant et d’un polynôme s’annulant en \(0\). Finalement \(E=\mbox{Ker}f\oplus F\). On montre facilement que \(g\) est un endomorphisme de \(E\).

\(P\in\mbox{Ker}g\Rightarrow\forall x\in\Rr,\;\int_{0}^{x}P(t)\;dt=0\Rightarrow\forall x\in\Rr,\;P(x)=0\) (en dérivant). Donc, \(\mbox{Ker}g=\{0\}\) et donc \(g\) est injective.

Si P est dans \(\mbox{Im}g\) alors \(P(0)=0\) ce qui montre que \(g\) n’est pas surjective. De plus, si \(P(0)=0\) alors \(\int_{0}^{x}P'(t)\;dt=P(x)-P(0)=P(x)\) ce qui montre que \(P=g(P')\) est dans \(\mbox{Im}g\) et donc que \(\mbox{Im}g=\{P\in E/\;P(0)=0\}\).

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