Soit \(E\) un ensemble et \({\cal E} = \{ (A,f)\) tq \(A \subset E,\ A\ne\varnothing,\) et \(f\in E^A \}\). On ordonne \(\cal E\) par : \[(A,f) \preceq (B,g) \iff \begin{cases}A \subset B \cr \forall\ x \in A,\ f(x) = g(x)\end{cases}\]
(c’est-à-dire que la fonction \(g\), définie sur \(B\), prolonge la fonction \(f\), définie seulement sur \(A\)).
1
Montrer que \(\preceq\) est une relation d’ordre. L’ordre est-il total ?
2
Soient \((A,f)\) et \((B,g)\) deux éléments de \(\cal E\). Trouver une CNS pour que la partie \(\{ (A,f), (B,g) \}\) soit majorée. Quelle est alors sa borne supérieure ?
3
Même question avec minorée.