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Soit $E$ un ensemble et $A \subset E$ . On définit la relation sur ${\cal P}(E)$ : $X \sim Y \iff X \cup A = Y \cup A.$

Montrer que c’est une relation d’équivalence.

Soit $\phi : {{\cal P}(E)} \to {{\cal P}(E\setminus A)}, X \mapsto {X \setminus A}$ .
Montrer que $\phi$ est compatible avec $\sim$ , et que l’application quotient associée est une bijection.