(Suspension d’un ensemble) Soit \(X\) un ensemble. Sur l’ensemble \(X\times [-1,1]\), on considère la relation d’équivalence la plus fine vérifiant: \[\begin{cases} \forall x,x'\in X, (x,-1)\mathcal R (x',-1)\\ \forall x,x'\in X, (x,1)\mathcal R (x',1) \end{cases}\]
Montrer que \[(x,t)\mathcal R (x',t') \iff \big( t=t'=-1 \text{ ou } t=t'=1\text{ ou } (x,t)= (x',t')\big)\] L’ensemble quotient est appelé suspension de \(X\), et est noté \(S(X)\).
Soit \(X=\{-1,1\}\). Montrer que l’application \(f : X\times[-1,1] \to \R^2, \: (x,t) \mapsto (t,x\sqrt{1-t^2})\) est à valeurs dans le cercle unité du plan, noté \(\mathbb S^1\), et passe au quotient en application injective de \(S(X)\) vers \(\R^2\) dont l’image est \(\mathbb S^1\). Ceci formalise la phrase la suspension de deux points est un cercle.