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Montrer que $$(x,t)\mathcal R (x',t') \iff \big( t=t'=-1 \text{ ou } t=t'=1\text{ ou } (x,t)= (x',t')\big)$$ L’ensemble quotient est appelé suspension de $X$, et est noté $S(X)$.

Soit $X=\{-1,1\}$. Montrer que l’application $f : X\times[-1,1] \to \R^2, \: (x,t) \mapsto (t,x\sqrt{1-t^2})$ est à valeurs dans le cercle unité du plan, noté $\mathbb S^1$, et passe au quotient en application injective de $S(X)$ vers $\R^2$ dont l’image est $\mathbb S^1$. Ceci formalise la phrase la suspension de deux points est un cercle.