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Soit $\alpha \in \C$ . On dit que $\alpha$ est algébrique s’il existe un polynôme $P \in {\Q[X]}$ tel que $P(\alpha) = 0$ .
Le polynôme unitaire de plus bas degré vérifiant $P(\alpha) = 0$ est appelé : polynôme minimal de $\alpha$ .

Soit $\alpha$ algébrique de polynôme minimal $P$ . Démontrer que $P$ est irréductible dans ${\Q[X]}$ et que $\alpha$ est racine simple de $P$ .

Soit $\alpha$ algébrique, et $P \in {\Q[X]}$ tel que $P(\alpha) = 0$ . On suppose que la multiplicité de $\alpha$ dans $P$ est strictement supérieure à $\frac 12\deg P$ . Démontrer que $\alpha \in \Q$ .

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