Soit \(\alpha \in \C\). On dit que \(\alpha\) est algébrique
s’il existe un polynôme \(P \in {\Q[X]}\) tel que \(P(\alpha) = 0\).
Le polynôme unitaire de plus bas degré vérifiant \(P(\alpha) = 0\) est appelé :
polynôme minimal de \(\alpha\).
1
Soit \(\alpha\) algébrique de polynôme minimal \(P\). Démontrer que \(P\) est irréductible dans \({\Q[X]}\) et que \(\alpha\) est racine simple de \(P\).
2
Soit \(\alpha\) algébrique, et \(P \in {\Q[X]}\) tel que \(P(\alpha) = 0\). On suppose que la multiplicité de \(\alpha\) dans \(P\) est strictement supérieure à \(\frac 12\deg P\). Démontrer que \(\alpha \in \Q\).