Les polynômes de degré inférieur ou égal à $0$ solutions sont clairement $0$ et $1$ .

Soit $P$ un polynôme de degré supérieur ou égal à $1$ tel que $P(X^2)=P(X)P(X+1)$ .

Soit $a$ une racine de $P$ dans $\Cc$ . Alors, $a^2$ , $a^4$ , $a^8$ ..., sont encore racines de $P$ . Mais, $P$ étant non nul, $P$ ne doit admettre qu’un nombre fini de racines. La suite $(a^{2^n})_{n\in\Nn}$ ne doit donc prendre qu’un nombre fini de valeurs ce qui impose $a=0$ ou $|a|=1$ car si $|a|\in]0,1[\cap]1,+\infty[$ , la suite $(|a^{2^n}|)$ est strictement monotone et en particulier les $a^{2^n}$ sont deux à deux distincts.

De même, si $a$ est racine de $P$ alors $(a-1)^2$ l’est encore mais aussi $(a-1)^4$ , $(a-1)^8$ ..., ce qui impose $a=1$ ou $|a-1|=1$ .

En résumé,

$\begin{align*} (a\;\mbox{racine de}\;P\;\mbox{dans}\;\Cc) &\Rightarrow ((a=0\;\mbox{ou}\;|a|=1)\;\mbox{et}\;(a=1\;\mbox{ou}\;|a-1|= 1)) \\ &\Rightarrow (a=0\;\mbox{ou}\;a=1\;\mbox{ou}\;|a|=|a-1|=1). \end{align*}$

Maintenant, $|a|=|a-1|=1\Leftrightarrow|a|=1\;\mbox{et}\;|a|=|a-1|\Leftrightarrow a\in\mathcal{C}((0,0),1)\cap\mbox{med}[(0,0),(1,0)]=\{-j,-j^2\}$ .

Donc, si $P\in\Rr[X]$ est solution, il existe $K$ , $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $K$ complexe non nul et $\alpha$ , $\beta$ et $\gamma$ entiers naturels tels que $P=KX^\alpha(X-1)^\beta(X+j)^\gamma(X+j^2)^\gamma$ ( $-j$ et $-j^2$ devant avoir même ordre de multiplicité).

Réciproquement, si $P=KX^\alpha(X-1)^\beta(X+j)^\gamma(X+j^2)^\gamma=KX^\alpha(X-1)^\beta(X^2-X+1)^\gamma$ . $\begin{align*} P(X^2) &= KX^{2\alpha}(X^2-1)^\beta(X4-X^2+1)^\gamma \\ &= KX^{2\alpha}(X-1)^\beta(X+1)^\beta(X^2-\sqrt{3}X+1)^\gamma(X^2+ \sqrt{3}X+1)^\gamma, \end{align*}$

et

$\begin{align*}\ensuremath P(X)P(X+1)&=KX^\alpha(X-1)^\beta(X^2-X+1)\gamma K(X+1)^\alpha X^\beta(X^2+X+1)^\gamma\\ &=K^2X^{\alpha+\beta}(X-1)^\beta(X+1)^\alpha(X^2-X+1)^\gamma(X^2+X+1)^\gamma. \end{align*}$

Par unicité de la décompôsition en produit de facteurs irréductibles d’un polynôme non nul, $P$ est solution si et seulement si $P=0$ ou $K=1$ et $\alpha=\beta$ et $\gamma=0$ .

Les polynômes solutions sont $0$ et les $(X^2-X)^\alpha$ où $\alpha$ est un entier naturel quelconque.

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