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Le polynôme $X^2+1$ est-il irréductible dans $\mathbb{F}_3[X]$ ?

Quelle est alors la structure de l’ensemble quotient $A=\mathbb{F}_3[X]/(X^2+1)$ ?

Quelle relation vérifie la classe $\alpha$ du polynôme $X$ dans ce quotient ?

Donner la liste des éléments de $A$.

Déterminer l’ordre multiplicatif de $\alpha$ dans $A^\times$.

Déterminer l’ordre multiplicatif de $a:=\alpha+2$ dans $A^\times$.

Etablir la table des puissances de $a$.

Calculer $(2+a) (2+2a)$.

Calculer $a^3+a^2$ comme puissance de $a$.

Calculer $(1+2a)^{-1}$.