1
Le polynôme \(X^2+1\) est-il irréductible dans \(\mathbb{F}_3[X]\) ?
2
Quelle est alors la structure de l’ensemble quotient \(A=\mathbb{F}_3[X]/(X^2+1)\) ?
3
Quelle relation vérifie la classe \(\alpha\) du polynôme \(X\) dans ce quotient ?
4
Donner la liste des éléments de \(A\).
5
Déterminer l’ordre multiplicatif de \(\alpha\) dans \(A^\times\).
6
Déterminer l’ordre multiplicatif de \(a:=\alpha+2\) dans \(A^\times\).
7
Etablir la table des puissances de \(a\).
8
Calculer \((2+a) (2+2a)\).
9
Calculer \(a^3+a^2\) comme puissance de \(a\).
10
Calculer \((1+2a)^{-1}\).