\(\frac{u_{n,k}}k = \frac nk - \bigl[\frac nk\bigr]\), donc \(v_n = \frac1n\sum_{k=1}^n\frac{u_{n,k}}k\) est une somme de Riemann pour l’intégrale \(I = \int_{t=0}^1 \Bigl(\frac1t - \bigl[\frac1t\bigr]\Bigr)\,d t\). La fonction \(\varphi\) : \(t \mapsto\frac1t - \bigl[\frac1t\bigr]\) est Riemann-intégrable sur \([0,1]\), donc \(v_n\to I\) lorsque \(n\to\infty\).

Calcul de \(I\) : \(I_n = \int_{t=1/n}^1 \Bigl(\frac1t - \bigl[\frac1t\bigr]\Bigr)\,d t = \ln n - \sum_{k=1}^n \int_{t=\frac1{k+1}}^{\frac1k}k\,d t = \ln n - \sum_{k=1}^n\frac1{k+1} \to 1-\gamma = I\) lorsque \(n\to\infty\).

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